Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(d) g(x, y)=e^{-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}.
Isso envolve aplicar a regra da cadeia: quando temos g(x,y)=\exp\bigl(u(x,y)\bigr), sua derivada parcial em relação a uma variável é \exp\bigl(u(x,y)\bigr) multiplicado pela derivada parcial de u.

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(x,y), identificamos
u(x,y) = -x^{2}-y^{2},
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\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^{2}-y^{2}\bigr) = -2x.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = \exp\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x} = e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2x) = -2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x,y), usamos o mesmo u(x,y). Temos
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x^{2}-y^{2}\bigr) = -2y.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = -2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Resposta

\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = -2x\,e^{-x^{2}-y^{2}},
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = -2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

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