Encontre, se existir os limites abaixo:
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
Esse é um problema de limites em várias variáveis, em que precisamos checar se o valor de f(x,y) ao se aproximar da origem independe do caminho.

Passo 2

Uma estratégia comum é aproximar-se de (0,0) ao longo de linhas do tipo y = kx, com k constante. Substituindo em
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
temos y=kx, então
f(x,kx) =\frac{x\,(k x)}{x^{2}+(k x)^{2}} =\frac{k\,x^{2}}{x^{2}(1+k^{2})} =\frac{k}{1+k^{2}}.
Ao levar x\to0, esse valor permanece \tfrac{k}{1+k^{2}}.

Passo 3

Escolhendo k=1 obtemos
\frac{1}{1+1^{2}}=\frac12,
enquanto para k=-1 obtemos
\frac{-1}{1+(-1)^{2}}=-\frac12.
Como os dois caminhos dão limites diferentes, o valor não é único.

Passo 4

Quando o limite depende do caminho escolhido, concluímos que o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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