Esboce os gráficos e algumas curvas de nível das seguintes funções:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função de duas variáveis
e também desenhar algumas curvas de nível (isto é, as interseções da superfície com planos do tipo
, constantes). O conteúdo envolvido é reconhecimento de superfícies quadráticas e estudo de curvas de nível em
.
Passo 2
Para entender o formato do gráfico, observamos as seções planas:
Quando , obtém-se
Quando
que é uma parábola no plano
abrindo para cima com “abertura” mais estreita que
.
Quando , ficamos com
Quando
outra parábola no plano
, igualmente abrindo para cima, mas ainda mais “fechada” (porque o fator 9 aumenta a curvatura).
Passo 3
A partir dessas parábolas, vemos que para ambos os eixos a superfície sobe em “tigela” simétrica em torno do eixo
, mas com curvaturas diferentes em
e em
. Portanto a superfície é um paraboloide elíptico de revolução apenas se
, mas como
, ele é elíptico “esticado” em
e “mais fechado” em
.
Passo 4
As curvas de nível são obtidas impondo
, com
. Temos
Reescrevendo em forma de elipse,
Para valores crescentes de
(por exemplo
), obtemos elipses concêntricas com semi-eixo em
de comprimento
e em
de comprimento
.
Passo 5
Esboço do gráfico em 3D: imagine uma tigela que é mais “aberta” na direção
(porque 4 é menor que 9) e mais “fechada” na direção
. O vértice está em
e quanto mais longe de
no plano
, maior o valor de
.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide elíptico com vértice em
, abrindo para cima, mais “alongado” em
e mais “estreito” em
. As curvas de nível são elipses
com semi-eixos
em
e
em
, para
.