Esboce os gráficos e algumas curvas de nível das seguintes funções:
(c) z=4 x^{2}+9 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função de duas variáveis
z = 4x^2 + 9y^2
e também desenhar algumas curvas de nível (isto é, as interseções da superfície com planos do tipo z = c, constantes). O conteúdo envolvido é reconhecimento de superfícies quadráticas e estudo de curvas de nível em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Para entender o formato do gráfico, observamos as seções planas:
Quando y=0, obtém-se
z = 4x^2,
que é uma parábola no plano xz abrindo para cima com “abertura” mais estreita que z=x^2.
Quando x=0, ficamos com
z = 9y^2,
outra parábola no plano yz, igualmente abrindo para cima, mas ainda mais “fechada” (porque o fator 9 aumenta a curvatura).

Passo 3

A partir dessas parábolas, vemos que para ambos os eixos a superfície sobe em “tigela” simétrica em torno do eixo z, mas com curvaturas diferentes em x e em y. Portanto a superfície é um paraboloide elíptico de revolução apenas se 4=9, mas como 4\neq9, ele é elíptico “esticado” em x e “mais fechado” em y.

Passo 4

As curvas de nível são obtidas impondo z=c, com c\ge0. Temos
4x^2 + 9y^2 = c.
Reescrevendo em forma de elipse,
\frac{x^2}{c/4} \;+\;\frac{y^2}{c/9} = 1.
Para valores crescentes de c (por exemplo c=1,2,5), obtemos elipses concêntricas com semi-eixo em x de comprimento \sqrt{c/4} e em y de comprimento \sqrt{c/9}.

Passo 5

Esboço do gráfico em 3D: imagine uma tigela que é mais “aberta” na direção x (porque 4 é menor que 9) e mais “fechada” na direção y. O vértice está em (0,0,0) e quanto mais longe de (0,0) no plano xy, maior o valor de z.

Resposta

O gráfico de z=4x^2+9y^2 é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0), abrindo para cima, mais “alongado” em x e mais “estreito” em y. As curvas de nível são elipses \;4x^2+9y^2=c\; com semi-eixos \sqrt{c/4} em x e \sqrt{c/9} em y, para c=1,2,5,\dots.

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