Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(g) f(x, y) = x * y * e^(x * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que a função envolve produtos e uma função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , que a gente denota por . Quando a gente faz derivadas parciais, trata a outra variável como constante. Então, aqui, será tratado como um número fixo.
A função é . Para derivar isso em relação a , vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é , onde e são funções de .
Aqui, podemos definir:
Então, primeiro vamos derivar e em relação a :
  • (porque é constante)
  • Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então . Então,
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , que é . Novamente, tratamos como constante.
A função é a mesma: . Vamos usar a regra do produto novamente, definindo:
Derivando e em relação a :
  • Para , aplicamos a regra da cadeia. Temos , então . Assim,
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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