Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que a função envolve produtos e uma função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que a gente denota por
. Quando a gente faz derivadas parciais, trata a outra variável como constante. Então, aqui,
será tratado como um número fixo.
A função é
. Para derivar isso em relação a
, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, onde
e
são funções de
.
Aqui, podemos definir:
Então, primeiro vamos derivar
e
em relação a
:
-
(porque é constante) - Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então . Então,
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que é
. Novamente, tratamos
como constante.
A função é a mesma:
. Vamos usar a regra do produto novamente, definindo:
Derivando
e
em relação a
:
-
- Para
, aplicamos a regra da cadeia. Temos , então . Assim,
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e