Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
(e) Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano
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(e) Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o volume máximo de uma caixa retangular que está no primeiro octante (ou seja, todas as coordenadas x, y e z são positivas). Três das faces da caixa estão nos planos coordenados, e o vértice oposto está no plano definido por
. Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
-
, , e são as dimensões da caixa.
A função que queremos maximizar é o volume da caixa:
Temos uma restrição dada pelo plano:
Passo 3
Agora, aplicamos os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador
e formamos a função Lagrangiana:
Vamos calcular as derivadas parciais em relação a
,
,
e
e igualar a zero:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Agora, sabemos que:
Então:
Substituímos
e
na restrição (4):
Agora encontramos
e
:
Resposta
As dimensões que maximizarão o volume da caixa são:
Então, o volume máximo é:
Portanto, o volume da maior caixa retangular possível é
unidades cúbicas.