Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(k) f(x, y) = arctg(x * raiz(y))

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Vamos usar conhecimentos de derivadas parciais e regras de diferenciação para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial em relação a de uma função significa que vamos derivar tratando como constante.
Então, vamos calcular .

Passo 3

A função é . A derivada de em relação a é .
Aqui, . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, .

Passo 6

Novamente, usando a regra da cadeia para , onde .
A derivada de em relação a é .

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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