(1.0) Usando o método de frações parciais para calcular a seguinte integral indefinida:
\int\left(\frac{t+\Omega+9}{t^{2}+2 t+1}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{t + \Omega + 9}{t^{2} + 2t + 1}\,dt
usando o método de frações parciais. O conteúdo é integração de funções racionais, em que vamos fatorar o denominador, decompor a fração e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, note que
t^{2} + 2t + 1 = (t+1)^{2},
então a integral fica
\int \frac{t + \Omega + 9}{(t+1)^{2}}\,dt.
Para decompor, escrevemos o numerador como
t + \Omega + 9 = (t+1) + (\Omega + 8),
pois t + \Omega + 9 = (t+1) + \Omega + 8.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{(t+1) + (\Omega+8)}{(t+1)^{2}}\,dt = \int \frac{t+1}{(t+1)^{2}}\,dt + \int \frac{\Omega+8}{(t+1)^{2}}\,dt.
Isso é equivalente a
\int \frac{1}{t+1}\,dt + (\Omega+8)\int (t+1)^{-2}\,dt.

Passo 4

Agora integramos cada parte:
\int \frac{1}{t+1}\,dt = \ln\bigl|t+1\bigr|
e
\int (t+1)^{-2}\,dt = -\,(t+1)^{-1}.
Logo, reunindo os resultados, a antiderivada é
\ln\bigl|t+1\bigr| - (\Omega+8)\,\frac{1}{t+1} + C.

Resposta

\ln\bigl|t+1\bigr| \;-\;\frac{\Omega+8}{t+1} \;+\; C.

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