Determine as equações do plano tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
(a) f(x, y) = x^2 * y em (1, 1, 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e um ponto específico no gráfico dessa função, que é . Nosso objetivo é encontrar as equações do plano tangente a esse gráfico nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

O plano tangente a um gráfico de uma função de duas variáveis no ponto é dado por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Então, vamos calcular essas derivadas no ponto dado.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 4

Com os valores das derivadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada no Passo 2. Sabemos que , então substituindo:
Vamos simplificar essa expressão para deixar a equação mais clara.

Passo 5

Simplificando a equação:
Então, a equação do plano tangente é .

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto é:

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