Determine as equações do plano tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
(a)
em
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e um ponto específico no gráfico dessa função, que é
. Nosso objetivo é encontrar as equações do plano tangente a esse gráfico nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
O plano tangente a um gráfico de uma função de duas variáveis
no ponto
é dado por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Então, vamos calcular essas derivadas no ponto dado.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 4
Com os valores das derivadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada no Passo 2. Sabemos que
, então substituindo:
Vamos simplificar essa expressão para deixar a equação mais clara.
Passo 5
Simplificando a equação:
Então, a equação do plano tangente é
.
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
é: