Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
f(u, v)=u^{2} \ln \left(u^{2}+v^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(u,v)=u^{2}\,\ln\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia, pois f é produto de u^{2} por \ln(\cdot).

Passo 2

Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial u} aplicando a regra do produto a u^{2} e \ln\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr) e, neste último fator, a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}\bigl(u^{2}\bigr)\,\ln\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr) + u^{2}\,\frac{\partial}{\partial u}\!\Bigl[\ln\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr)\Bigr].
Temos \frac{\partial}{\partial u}(u^{2})=2u e
\frac{\partial}{\partial u}\ln(q)=\frac{1}{q}\frac{\partial q}{\partial u} com q=u^{2}+v^{2}+1, logo \frac{\partial q}{\partial u}=2u. Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial u} =2u\,\ln\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr) +u^{2}\,\frac{1}{u^{2}+v^{2}+1}\,2u.
Simplificando,
\frac{\partial f}{\partial u} =2u\,\ln\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr) +\frac{2u^{3}}{u^{2}+v^{2}+1}.

Passo 3

Agora \displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}. Aqui u^{2} é constante em relação a v, e aplicamos a regra da cadeia em \ln(u^{2}+v^{2}+1):
\frac{\partial f}{\partial v} = u^{2}\,\frac{\partial}{\partial v}\!\Bigl[\ln\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr)\Bigr] = u^{2}\,\frac{1}{u^{2}+v^{2}+1}\,\frac{\partial}{\partial v}\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr).
Como \frac{\partial}{\partial v}(u^{2}+v^{2}+1)=2v, obtém-se
\frac{\partial f}{\partial v} =\frac{2u^{2}v}{u^{2}+v^{2}+1}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial u} =2u\,\ln\bigl(u^{2}+v^{2}+1\bigr) +\frac{2u^{3}}{u^{2}+v^{2}+1}, \qquad \frac{\partial f}{\partial v} =\frac{2u^{2}v}{u^{2}+v^{2}+1}.

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