Determine o limite,se existir, ou mostre que o limite não existe em:
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,2)}\left(x y^{3}+3 x y-x^{4}-2 y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(-1,2)}\bigl(x\,y^{3}+3\,x\,y - x^{4} - 2\,y^{3}\bigr).
Estamos lidando com o conteúdo de limites de funções de várias variáveis.

Passo 2

Observamos que
f(x,y) = x\,y^{3} + 3\,x\,y - x^{4} - 2\,y^{3}
é um polinômio em (x,y). Polinômios são funções contínuas em \mathbb{R}^2, portanto o limite no ponto (-1,2) é simplesmente o valor da função nesse ponto, isto é,
\lim_{(x,y)\to(-1,2)}f(x,y) = f(-1,2).

Passo 3

Agora calculamos
f(-1,2) = (-1)\cdot 2^{3} + 3\cdot(-1)\cdot 2 \;-\; (-1)^{4} \;-\; 2\cdot 2^{3}.
Primeiro,
(-1)\cdot 2^{3} = -8, \quad 3\cdot(-1)\cdot 2 = -6, \quad (-1)^{4} = 1, \quad 2\cdot 2^{3} = 16.
Somando e subtraindo:
-8 + (-6) - 1 - 16 = -31.

Resposta

-31

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