Determine o limite,se existir, ou mostre que o limite não existe em:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,-1)}\left(\frac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+2 x y-y^{2}}\right)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,-1)} \frac{x^{2}-y^{3}}{\,x^{2}+2xy-y^{2}\,}.
Conteúdo: limites de funções de duas variáveis e critério de continuidade.

Passo 2

Verificamos se o denominador se anula no ponto (0,-1). Substituindo (x,y)=(0,-1) em
D(x,y)=x^{2}+2xy-y^{2},
obtém-se
D(0,-1)=0^{2}+2\cdot0\cdot(-1)-(-1)^{2}=-1\neq0.
Como o denominador é não nulo em (0,-1), a função é contínua nesse ponto.

Passo 3

Pela continuidade, o limite basta avaliar a expressão em (0,-1). O numerador
N(x,y)=x^{2}-y^{3}
em (0,-1) vale
N(0,-1)=0^{2}-(-1)^{3}= -(-1)=1.
Logo,
\lim_{(x,y)\to(0,-1)}\frac{N(x,y)}{D(x,y)} =\frac{N(0,-1)}{D(0,-1)} =\frac{1}{-1}=-1.

Passo 4

Para maior segurança, podemos checar o mesmo valor aproximando por uma reta genérica y=-1+ax. Expansões em séries de x mostram que, independente de a, a razão tende a
\frac{1}{-1}=-1.
Isso confirma que o limite não depende da direção de aproximação.

Resposta

-1

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