Use a computer to investigate the family of surfaces
. In particular, you should determine the transitional values of
for which the surface changes from one type of quadric surface to another.
Passo 1
O enunciado nos dá a família de superfícies
e pede para identificar, conforme o parâmetro
, os tipos de quadricas (elíptica, hiperbólica, degenerada) e os valores de transição em que o tipo muda. O conteúdo envolve classificação de formas quadráticas usando autovalores da matriz associada.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática em
na forma matricial
Chamemos essa matriz de
Os autovalores de
são dados por
Passo 3
Para classificar a superfície, analisamos o sinal de
e
:
- Se
e , a forma é definida positiva e temos um paraboloide elíptico (“tijela”).
Isso ocorre quando
Passo 4
Se um dos autovalores for zero e o outro positivo, a forma é semidefinida e a superfície degenera num paraboloide parabólico (cilindro parabólico). Isso acontece exatamente quando
pois então
ou
.
Passo 5
Se um autovalor for positivo e o outro negativo, a forma é indefinida, e a superfície é um paraboloide hiperbólico (sela). Isso ocorre quando
pois aí
.
Resposta
Os valores de transição em que a superfície muda de elíptica para hiperbólica (passando pelo caso degenerado) são