Use a computer to investigate the family of surfaces z=x^{2}+y^{2}+c x y. In particular, you should determine the transitional values of c for which the surface changes from one type of quadric surface to another.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de superfícies
z = x^{2} + y^{2} + c\,x\,y
e pede para identificar, conforme o parâmetro c, os tipos de quadricas (elíptica, hiperbólica, degenerada) e os valores de transição em que o tipo muda. O conteúdo envolve classificação de formas quadráticas usando autovalores da matriz associada.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática em x,y na forma matricial
z = \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & \tfrac{c}{2}\\[6pt]\tfrac{c}{2} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Chamemos essa matriz de
A = \begin{pmatrix}1 & \tfrac{c}{2}\\[4pt]\tfrac{c}{2} & 1\end{pmatrix}.
Os autovalores de A são dados por
\lambda_{1,2} = 1 \pm \frac{c}{2}.]

Passo 3

Para classificar a superfície, analisamos o sinal de \lambda_{1} e \lambda_{2}:
  • Se \lambda_{1}>0 e \lambda_{2}>0, a forma é definida positiva e temos um paraboloide elíptico (“tijela”).
    Isso ocorre quando
1 + \frac{c}{2} > 0 \quad\text{e}\quad 1 - \frac{c}{2} > 0 \;\Longleftrightarrow\;-2 < c < 2.

Passo 4

Se um dos autovalores for zero e o outro positivo, a forma é semidefinida e a superfície degenera num paraboloide parabólico (cilindro parabólico). Isso acontece exatamente quando
c = 2 \quad\text{ou}\quad c = -2,
pois então \lambda_{1}=0 ou \lambda_{2}=0.

Passo 5

Se um autovalor for positivo e o outro negativo, a forma é indefinida, e a superfície é um paraboloide hiperbólico (sela). Isso ocorre quando
c > 2 \quad\text{ou}\quad c < -2,
pois aí \lambda_{1}\lambda_{2}<0.

Resposta

Os valores de transição em que a superfície muda de elíptica para hiperbólica (passando pelo caso degenerado) são
c = 2 \quad\text{e}\quad c = -2.

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