Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:
f(x, y)=x^2 e^y+sin (x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x^2 e^y + sin(x y) . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que são as taxas de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver, precisamos lembrar como derivar funções exponenciais e trigonométricas em múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que é representada por partial fpartial x . Isso significa que tratamos y como uma constante e diferenciamos em relação a x .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função separadamente:
  1. Para o termo x^2 e^y :
    • e^y é uma constante em relação a x , então a derivada de x^2 é 2x .
    • Portanto, a derivada desse termo é 2x e^y .
  2. Para o termo sin(x y) :
    • Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de sin(u) é cos(u) multiplicado pela derivada de u .
    • Aqui, u = x y , então a derivada de u em relação a x é y .
    • Portanto, a derivada desse termo é y cos(x y) .

Passo 4

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter partial fpartial x :
partial fpartial x = 2x e^y + y cos(x y)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , representada por partial fpartial y . Desta vez, tratamos x como uma constante e diferenciamos em relação a y .

Passo 6

Derivamos cada termo da função separadamente:
  1. Para o termo x^2 e^y :
    • x^2 é uma constante em relação a y , então a derivada de e^y é e^y .
    • Portanto, a derivada desse termo é x^2 e^y .
  2. Para o termo sin(x y) :
    • Aplicamos a regra da cadeia novamente. A derivada de sin(u) é cos(u) multiplicado pela derivada de u .
    • Aqui, u = x y , então a derivada de u em relação a y é x .
    • Portanto, a derivada desse termo é x cos(x y) .

Passo 7

Somamos as derivadas dos dois termos para obter partial fpartial y :
partial fpartial y = x^2 e^y + x cos(x y)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = 2x e^y + y cos(x y)
e
partial fpartial y = x^2 e^y + x cos(x y)

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