Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que são as taxas de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver, precisamos lembrar como derivar funções exponenciais e trigonométricas em múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é representada por
. Isso significa que tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função separadamente:
-
Para o termo
: -
é uma constante em relação a , então a derivada de é . - Portanto, a derivada desse termo é
.
-
-
Para o termo
: - Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é multiplicado pela derivada de . - Aqui,
, então a derivada de em relação a é . - Portanto, a derivada desse termo é
.
- Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
Passo 4
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, representada por
. Desta vez, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
Passo 6
Derivamos cada termo da função separadamente:
-
Para o termo
: -
é uma constante em relação a , então a derivada de é . - Portanto, a derivada desse termo é
.
-
-
Para o termo
: - Aplicamos a regra da cadeia novamente. A derivada de
é multiplicado pela derivada de . - Aqui,
, então a derivada de em relação a é . - Portanto, a derivada desse termo é
.
- Aplicamos a regra da cadeia novamente. A derivada de
Passo 7
Somamos as derivadas dos dois termos para obter
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e