Usando a definição de derivada parcial, determime:
partial fpartial x(1,0) e partial fpartial y(1,2) para f(x, y)=lll2 x^2 y+y & se y >= x 3 x+2 y & se y<x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)= 2x^2y+y, & y>= x, 3x+2y, & y<x
nos pontos (1,0) e (1,2), usando as definições
partial fpartial x(a,b)=limhto0f(a+h,b)-f(a,b)h, partial fpartial y(a,b)=limkto0f(a,b+k)-f(a,b)k

Passo 2

Cálculo de partial fpartial x(1,0).
Como em (1,0) vale 0<1, estamos na região y<x, logo
f(x,y)=3x+2y
Então
f(1,0)=3cdot1+2cdot0=3, f(1+h,0)=3(1+h)+2cdot0=3+3h
A diferença quociente é
f(1+h,0)-f(1,0)h =3+3h-3h =3,
portanto
partial fpartial x(1,0)=3

Passo 3

Cálculo de partial fpartial y(1,2).
Como em (1,2) vale 2>=1, usamos a região y>= x, isto é
f(x,y)=2x^2y+y
Assim
f(1,2)=2cdot1^2cdot2+2=6, f(1,2+k)=2cdot1^2(2+k)+(2+k)=6+3k
A diferença quociente é
f(1,2+k)-f(1,2)k =6+3k-6k =3,
logo
partial fpartial y(1,2)=3

Resposta

partial fpartial x(1,0)=3
partial fpartial y(1,2)=3

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