Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:
f(x, y)=x^3 y^2+x y^3+x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^3y^2+x,y^3+x
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, aplicando a regra da potência e, quando necessário, a regra do produto, mantendo a outra variável constante.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante e derivamos termo a termo:
  • x^3y^2 em relação a x: a potência em x gera 3x^2 e y^2 permanece como fator constante, resultando em 3x^2y^2.
  • x,y^3 em relação a x: y^3 é constante, então a derivada de x é 1, dando y^3.
  • x em relação a x: derivada é 1.
    Portanto,
partial fpartial x(x,y)=3x^2y^2+y^3+1

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos termo a termo:
  • x^3y^2 em relação a y: x^3 é constante e a derivada de y^2 é 2y, resultando em 2x^3y.
  • x,y^3 em relação a y: x é constante e a derivada de y^3 é 3y^2, resultando em 3x,y^2.
  • x em relação a y: derivada é 0.
    Logo,
partial fpartial y(x,y)=2x^3y+3x,y^2

Resposta

partial fpartial x(x,y)=3x^2y^2+y^3+1,
partial fpartial y(x,y)=2x^3y+3x,y^2

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