Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:
f(x, y)=ln (e^x+e^y)

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=lnl(e^x+e^yr). O conteúdo envolve derivada de logaritmo, derivada de exponencial e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular dfracpartial fpartial x, introduzimos a função interna u(x,y)=e^x+e^y, de modo que f=ln u. Pela regra da cadeia temos dfracpartial fpartial x=dfrac1ucdotdfracpartial upartial x. Como e^y é constante em relação a x e dfracddxe^x=e^x, resulta dfracpartial upartial x=e^x. Assim,
dfracpartial fpartial x=dfrace^xe^x+e^y

Passo 3

Agora, para dfracpartial fpartial y fazemos procedimento análogo. Mantemos u=e^x+e^y e aplicamos a cadeia: dfracpartial fpartial y=dfrac1ucdotdfracpartial upartial y. Como e^x é constante frente a y e dfracddye^y=e^y, temos dfracpartial upartial y=e^y. Logo,
dfracpartial fpartial y=dfrace^ye^x+e^y

Resposta

As derivadas parciais de f(x,y)=ln(e^x+e^y) são:
dfracpartial fpartial x=dfrace^xe^x+e^y, dfracpartial fpartial y=dfrace^ye^x+e^y

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