Usando a definição de derivada parcial, determime:
partial fpartial x(1,-1) e partial fpartial y(1,1) para f(x, y)=2 x+3 y+2 x y;

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada parcial, ou seja
partial fpartial x(a,b) = limhto 0f(a+h,b)-f(a,b)h, partial fpartial y(a,b) = limkto 0f(a,b+k)-f(a,b)k,
para a função f(x,y)=2x+3y+2xy. Vamos aplicar essas fórmulas em (a,b)=(1,-1) para a derivada em x e em (1,1) para a derivada em y.

Passo 2

Calcular partial fpartial x(1,-1) pela definição:
partial fpartial x(1,-1) = limhto0f(1+h,-1)-f(1,-1)h
Primeiro avalio f(1+h,-1):
f(1+h,-1) =2(1+h)+3(-1)+2(1+h)(-1) =2+2h-3-2-2h =-3
E f(1,-1)=2cdot1+3(-1)+2cdot1cdot(-1)=2-3-2=-3. Logo o quociente é
f(1+h,-1)-f(1,-1)h =-3-(-3)h =0h =0

Passo 3

Como esse limite é constante em h, concluímos
partial fpartial x(1,-1)=0

Passo 4

Calcular partial fpartial y(1,1) pela definição:
partial fpartial y(1,1) = limkto0f(1,1+k)-f(1,1)k
Avalio f(1,1+k):
f(1,1+k) =2cdot1+3(1+k)+2cdot1cdot(1+k) =2+3+3k+2+2k =7+5k
E f(1,1)=2+3+2=7. Então
f(1,1+k)-f(1,1)k =7+5k-7k =5kk =5

Passo 5

O limite não depende de k, portanto
partial fpartial y(1,1)=5

Resposta

partial fpartial x(1,-1)=0
partial fpartial y(1,1)=5

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