Usando a definição de derivada parcial, determime:
partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(1,1) para f(x, y)=2 x^2 y+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a definição de derivada parcial para encontrar partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(1,1) da função f(x, y) = 2x^2y + y^2. Então, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicar a definição delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0), ou seja, partial fpartial x(0,0).
A definição de derivada parcial em relação a x é:
partial fpartial x(a,b) = limh to 0 f(a+h, b) - f(a, b)h
Aplicando isso para a=0 e b=0:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(0+h, 0) - f(0, 0)h
Vamos calcular f(h, 0):
f(h, 0) = 2h^2(0) + (0)^2 = 0
E f(0,0) também é:
f(0,0) = 0
Então, a expressão fica:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = limh to 0 0 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y no ponto (1,1), ou seja, partial fpartial y(1,1).
A definição de derivada parcial em relação a y é:
partial fpartial y(a,b) = limk to 0 f(a, b+k) - f(a, b)k
Aplicando isso para a=1 e b=1:
partial fpartial y(1,1) = limk to 0 f(1,1+k) - f(1, 1)k
Vamos calcular f(1,1+k):
f(1,1+k) = 2(1)^2(1+k) + (1+k)^2 = 2(1+k) + 1 + 2k + k^2 = 2 + 2k + 1 + 2k + k^2 = 3 + 4k + k^2
E f(1,1) é:
f(1,1) = 2(1)^2(1) + 1^2 = 2 + 1 = 3
Então, a expressão fica:
partial fpartial y(1,1) = limk to 0 3 + 4k + k^2 - 3k = limk to 0 4k + k^2k = limk to 0 (4 + k) = 4

Resposta

partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(1,1) = 4.

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