Para a função f e o número a dados, expresse cada um dos seguintes limites como infty,-infty ou nexists:
lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e lim x a f(x)
2 x^2x^2-x-2, a=-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^2x^2-x-2
e pede os limites laterais e o limite total em a=-1. O ponto x=-1 anula o denominador, então vamos estudar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de -1 pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
Logo,
f(x) =2x^2(x-2)(x+1)
Em x=-1 o denominador é zero, e o numerador é 2cdot(-1)^2=2neq0. Isso indica uma “infinidade” tipo pólo.

Passo 3

Para capturar o sinal e o tipo de infinito, fazemos x=-1+h com hto0.
Então
x-2=-3+h, x+1=h,
e
f(-1+h) =2(-1+h)^2(-3+h),h sim2cdot1(-3),h =-23h
  • Se hto0^- (isto é, xto-1^-), então h<0 e -tfrac23hto+infty.
  • Se hto0^+ (isto é, xto-1^+), então h>0 e -tfrac23hto-infty.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes ( +infty e -infty), o limite em xto-1 não existe.

Resposta

limxto-1^-f(x)=+infty, limxto-1^+f(x)=-infty, limxto-1f(x)=nexists

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