Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por
h(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
h(x,y,z)=\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia, pois h é a composição de \sin(u) com u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
em relação a cada variável:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=2z.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia. Como \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u), temos por exemplo
\frac{\partial h}{\partial x} =\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x} =2x\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
As derivadas em relação a y e z seguem de forma análoga.

Resposta

\frac{\partial h}{\partial x}=2x\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),\quad \frac{\partial h}{\partial y}=2y\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),\quad \frac{\partial h}{\partial z}=2z\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

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