Determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem das funções definidas por
z=\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
z = \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos
u = x^{2}+y^{2},
para reescrever
z = u\,\ln(u).
Pela regra do produto e da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\ln(u) + u\,\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = u_{x}\,\ln(u) + u_{x}
e como
u_{x} = 2x,
temos
z_{x} = 2x\,\ln(u) + 2x = 2x\bigl(\ln(u)+1\bigr).
De modo análogo,
u_{y} = 2y \quad\Longrightarrow\quad z_{y} = 2y\bigl(\ln(u)+1\bigr).

Passo 3

Para obter as segundas derivadas, começamos por
z_{x} = 2x\,\ln(u) + 2x.
Derivando em relação a x:
z_{xx} = 2\,\ln(u) + 2x\cdot\frac{1}{u}\,u_{x} \;+\; 2 = 2\ln(u) + 2x\cdot\frac{2x}{u} + 2 = 2\ln(u) + 2 + \frac{4x^{2}}{u}.
Para a mista z_{xy}, derivamos z_{x} em relação a y:
z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,\ln(u)\bigr) = 2x\cdot\frac{1}{u}\,u_{y} = 2x\cdot\frac{2y}{u} = \frac{4xy}{u}.

Passo 4

Como x e y aparecem de forma simétrica em u, temos por semelhança
z_{yy} = 2\ln(u) + 2 + \frac{4y^{2}}{u}.

Resposta

z_{x} = 2x\bigl(\ln(x^{2}+y^{2})+1\bigr), \quad z_{y} = 2y\bigl(\ln(x^{2}+y^{2})+1\bigr),
z_{xx} = 2\ln(x^{2}+y^{2}) + 2 + \frac{4x^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \quad z_{xy} = \frac{4xy}{x^{2}+y^{2}}, \quad z_{yy} = 2\ln(x^{2}+y^{2}) + 2 + \frac{4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

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