Determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem das funções definidas por
h(x, y)=\frac{x \operatorname{sen} y}{\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}.

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x,y)=\frac{x\,\sin y}{\cos\bigl(x^2+y^2\bigr)}
e pede todas as derivadas parciais de primeira ordem h_x,h_y e de segunda ordem h_{xx},h_{xy},h_{yy}.
O conteúdo que vamos usar é: regra do produto, regra da cadeia e a derivada de \operatorname{sec} u, que é \frac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u.

Passo 2

Defina u=x^2+y^2. Então
h(x,y)=x\,\sin y\;\operatorname{sec} u.
– Para h_x aplicamos produto em x\,\sin y e em \operatorname{sec} u:
\frac{\partial}{\partial x}(x\sin y)=\sin y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sec} u)=\operatorname{sec} u\,\tan u\;\frac{\partial u}{\partial x} =2x\,\operatorname{sec} u\,\tan u.
Logo,
h_x =\sin y\;\operatorname{sec} u +x\sin y\;\bigl(2x\,\operatorname{sec} u\,\tan u\bigr) =\sin y\,\operatorname{sec} u\bigl(1+2x^2\tan u\bigr).
– Para h_y análoga­mente:
\frac{\partial}{\partial y}(x\sin y)=x\cos y, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sec} u)=2y\,\operatorname{sec} u\,\tan u.
Logo,
h_y =x\cos y\;\operatorname{sec} u +x\sin y\;\bigl(2y\,\operatorname{sec} u\,\tan u\bigr) =x\,\operatorname{sec} u\bigl(\cos y+2y\sin y\,\tan u\bigr).

Passo 3

Para h_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(h_x), escrevemos
h_x=\sin y\,\operatorname{sec} u+2x^2\sin y\,\operatorname{sec} u\,\tan u
e derivamos. O resultado fica
h_{xx} =\sin y\,\operatorname{sec} u\bigl[6x\tan u+4x^3\bigl(\tan^2u+\operatorname{sec}^2u\bigr)\bigr].

Passo 4

Para h_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(h_x), partimos de
h_x=\sin y\,\operatorname{sec} u+2x^2\sin y\,\operatorname{sec} u\,\tan u
e aplicamos produto em cada termo. O resultado simplificado é
h_{xy} =\operatorname{sec} u\Bigl[\cos y\,(1+2x^2\tan u) +\sin y\,(2y\tan u+4x^2y(\tan^2u+\operatorname{sec}^2u))\Bigr].

Passo 5

Para h_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(h_y), partimos de
h_y =x\,\operatorname{sec} u\bigl(\cos y+2y\sin y\,\tan u\bigr)
e usamos produto e cadeia. O resultado fica
h_{yy} = x\,\operatorname{sec} u\Bigl[-\sin y+2\sin y\,\tan u +4y\cos y\,\tan u+4y^2\sin y\,(\tan^2u+\operatorname{sec}^2u)\Bigr].

Resposta

h_x=\sin y\,\operatorname{sec} u\bigl(1+2x^2\tan u\bigr) h_y=x\,\operatorname{sec} u\bigl(\cos y+2y\sin y\,\tan u\bigr) h_{xx}=\sin y\,\operatorname{sec} u\bigl[6x\tan u+4x^3(\tan^2u+\operatorname{sec}^2u)\bigr] h_{xy}=\operatorname{sec} u\bigl[\cos y\,(1+2x^2\tan u)+\sin y\,(2y\tan u+4x^2y(\tan^2u+\operatorname{sec}^2u))\bigr] h_{yy}=x\,\operatorname{sec} u\bigl[-\sin y+2\sin y\,\tan u+4y\cos y\,\tan u+4y^2\sin y(\tan^2u+\operatorname{sec}^2u)\bigr], com u=x^2+y^2.

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