Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
Temos a função
dada por
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
, isto é:
Observação importante: como aparece
, a expressão está definida apenas para
. Então todas as derivadas que vamos calcular valem para
.
Passo 2
Antes de calcular, vamos revisar rapidamente as regras que vamos usar (sem pânico — eu explico passo a passo):
-
Definição prática de derivada parcial:
é a derivada de em que tratamos como constante; trata como constante. -
Regra do produto: se temos
, então
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
- Derivada de
: para ,
Esses são os ingredientes que vamos aplicar.
Passo 3
Calcular
.
Identificamos um produto:
e
.
Pela regra do produto,
Agora cada termo:
Para o segundo termo usamos regra da cadeia com
:
Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Portanto
Substituindo de volta:
Simplificando o segundo termo:
. Logo
Fatorando
:
(Outra forma equivalente é
.)
Passo 4
Calcular
.
Aqui
é constante. Escrevendo
, aplicamos regra da cadeia ao exponencial:
Como
é constante,
Então
Multiplicando por
(lembrando
):
Passo 5
Resumo rápido e moral da história: a derivada parcial em relação a
dá um pouco mais de trabalho por causa do
dentro do expoente (precisamos usar produto + cadeia). A parcial em relação a
é simples porque
é constante e os
se cancelam.