Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y)=x e^{y / x}

Passo 1

Temos a função f dada por
f(x,y)=x e^{y/x}.
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de f, isto é:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Observação importante: como aparece \dfrac{y}{x}, a expressão está definida apenas para x\neq 0. Então todas as derivadas que vamos calcular valem para x\neq 0.

Passo 2

Antes de calcular, vamos revisar rapidamente as regras que vamos usar (sem pânico — eu explico passo a passo):
  • Definição prática de derivada parcial: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em que tratamos y como constante; \dfrac{\partial f}{\partial y} trata x como constante.
  • Regra do produto: se temos h(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então
\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Regra da cadeia para exponencial: se v(x,y)=e^{w(x,y)}, então
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{w(x,y)}\cdot\frac{\partial w}{\partial x}.
  • Derivada de \dfrac{1}{x}: para x\neq 0,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Esses são os ingredientes que vamos aplicar.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Identificamos um produto: u(x,y)=x e v(x,y)=e^{y/x}.
Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)\cdot e^{y/x}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y/x}\bigr).
Agora cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Para o segundo termo usamos regra da cadeia com w(x,y)=\dfrac{y}{x}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y/x}\bigr)=e^{y/x}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right).
Como y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)=y\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=y\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y/x}\bigr)=e^{y/x}\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Substituindo de volta:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{y/x}+x\cdot e^{y/x}\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Simplificando o segundo termo: x\cdot\left(-\dfrac{y}{x^{2}}\right)=-\dfrac{y}{x}. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{y/x}-\frac{y}{x}e^{y/x}.
Fatorando e^{y/x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{y/x}\left(1-\frac{y}{x}\right).
(Outra forma equivalente é \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{y/x}\dfrac{x-y}{x}.)

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Aqui x é constante. Escrevendo f(x,y)=x\cdot e^{y/x}, aplicamos regra da cadeia ao exponencial:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y/x}\bigr)=e^{y/x}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right).
Como x é constante,
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}.
Então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y/x}\bigr)=e^{y/x}\cdot\frac{1}{x}.
Multiplicando por x (lembrando f=x\cdot e^{y/x}):
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot e^{y/x}\cdot\frac{1}{x}=e^{y/x}.

Passo 5

Resumo rápido e moral da história: a derivada parcial em relação a x dá um pouco mais de trabalho por causa do \dfrac{y}{x} dentro do expoente (precisamos usar produto + cadeia). A parcial em relação a y é simples porque x é constante e os x se cancelam.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{y/x}\!\left(1-\frac{y}{x}\right)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{y/x}

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