Use a regra da cadeia para determinar \frac{d f}{d t}.
f(x, y)=x^{2} y+x y^{2}, x=2+t^{4}, y=1-t^{3}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada temporal \dfrac{d f}{d t} da função f(x,y)=x^{2}y + x y^{2} quando as variáveis x e y dependem de t pelas leis x(t)=2+t^{4} e y(t)=1-t^{3}.
Informações dadas:
f(x,y)=x^{2}y + x y^{2},
x(t)=2+t^{4},
y(t)=1-t^{3}.
Pergunta explícita: determinar \dfrac{d f}{d t} em termos de t.

Passo 2

Ferramenta principal (regra da cadeia para funções de duas variáveis): se f=f(x,y) e x=x(t), y=y(t), então
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
Explicando: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo; \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y mantendo x fixo. Multiplicamos cada parcial pela taxa de variação correspondente da variável ( \dfrac{dx}{dt} ou \dfrac{dy}{dt}) e somamos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
Derivando f(x,y)=x^{2}y + x y^{2} em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=2x y + y^{2}.
Explicação: a derivada de x^{2}y em relação a x é 2x\cdot y pois y é constante; a derivada de x y^{2} em relação a x é y^{2}.
Derivando f em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2} + 2x y.
Explicação: a derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}; a derivada de x y^{2} em relação a y é 2x y.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das expressões de x(t) e y(t).
Para x(t)=2+t^{4}:
\frac{d x}{d t}=4t^{3}.
Para y(t)=1-t^{3}:
\frac{d y}{d t}=-3t^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas de x e y:
\frac{d f}{d t}=\bigl(2x y + y^{2}\bigr)\cdot 4t^{3}+\bigl(x^{2}+2x y\bigr)\cdot(-3t^{2}).
Isto é uma expressão em termos de x, y e t. Agora vamos substituir x(t) e y(t) para obter uma expressão só em t.

Passo 6

Substituir x=2+t^{4} e y=1-t^{3} e calcular passo a passo os termos intermediários.
Calcular 2xy:
2xy = 2(2+t^{4})(1-t^{3}).
Expandindo:
2xy = 2\bigl(2 - 2t^{3} + t^{4} - t^{7}\bigr)=4 -4t^{3} +2t^{4} -2t^{7}.
Calcular y^{2}:
y^{2}=(1-t^{3})^{2}=1-2t^{3}+t^{6}.
Somar para obter 2xy+y^{2}:
2xy+y^{2}=(4 -4t^{3} +2t^{4} -2t^{7}) + (1-2t^{3}+t^{6})=5 -6t^{3} +2t^{4} +t^{6} -2t^{7}.
Calcular x^{2}:
x^{2}=(2+t^{4})^{2}=4 +4t^{4} + t^{8}.
Somar para obter x^{2}+2xy:
x^{2}+2xy=(4 +4t^{4} + t^{8}) + (4 -4t^{3} +2t^{4} -2t^{7})=8 -4t^{3} +6t^{4} -2t^{7} + t^{8}.

Passo 7

Agora multiplicar esses resultados por \dfrac{dx}{dt}=4t^{3} e por \dfrac{dy}{dt}=-3t^{2} respectivamente.
Primeiro termo:
4t^{3}\bigl(2xy+y^{2}\bigr)=4t^{3}\bigl(5 -6t^{3} +2t^{4} +t^{6} -2t^{7}\bigr).
Expandindo:
4t^{3}\bigl(2xy+y^{2}\bigr)=20t^{3} -24t^{6} +8t^{7} +4t^{9} -8t^{10}.
Segundo termo:
-3t^{2}\bigl(x^{2}+2xy\bigr)=-3t^{2}\bigl(8 -4t^{3} +6t^{4} -2t^{7} + t^{8}\bigr).
Expandindo:
-3t^{2}\bigl(x^{2}+2xy\bigr)=-24t^{2} +12t^{5} -18t^{6} +6t^{9} -3t^{10}.

Passo 8

Somar os dois termos para obter \dfrac{df}{dt}.
Somando termo a termo:
\frac{d f}{d t}=(-24t^{2}) + (20t^{3}) + (12t^{5}) + (-24t^{6}-18t^{6}) + (8t^{7}) + (4t^{9}+6t^{9}) + (-8t^{10}-3t^{10}).
Agrupando coeficientes:
\frac{d f}{d t}=-24t^{2} +20t^{3} +12t^{5} -42t^{6} +8t^{7} +10t^{9} -11t^{10}.

Passo 9

Podemos eventualmente fatorar um t^{2} se quisermos destacar fator comum:
\frac{d f}{d t}=t^{2}\bigl(-24 +20t +12t^{3} -42t^{4} +8t^{5} +10t^{7} -11t^{8}\bigr),
mas a forma polinomial expandida é suficiente e direta para usar na prova.

Resposta

-24t^{2} +20t^{3} +12t^{5} -42t^{6} +8t^{7} +10t^{9} -11t^{10}

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