Use a regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a derivada temporal
da função
quando as variáveis
e
dependem de
pelas leis
e
.
Informações dadas:
Pergunta explícita: determinar
em termos de
.
Passo 2
Ferramenta principal (regra da cadeia para funções de duas variáveis): se
e
,
, então
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial em relação a
mantendo
fixo. Multiplicamos cada parcial pela taxa de variação correspondente da variável (
ou
) e somamos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Explicação: a derivada de
em relação a
é
pois
é constante; a derivada de
em relação a
é
.
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Explicação: a derivada de
em relação a
é
; a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Calcular
e
a partir das expressões de
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas de
e
:
Isto é uma expressão em termos de
,
e
. Agora vamos substituir
e
para obter uma expressão só em
.
Passo 6
Substituir
e
e calcular passo a passo os termos intermediários.
Calcular
:
Expandindo:
Calcular
:
Somar para obter
:
Calcular
:
Somar para obter
:
Passo 7
Agora multiplicar esses resultados por
e por
respectivamente.
Primeiro termo:
Expandindo:
Segundo termo:
Expandindo:
Passo 8
Somar os dois termos para obter
.
Somando termo a termo:
Agrupando coeficientes:
Passo 9
Podemos eventualmente fatorar um
se quisermos destacar fator comum:
mas a forma polinomial expandida é suficiente e direta para usar na prova.