Suponha que uma pequena amostra piloto de tamanho 10 , extraída de uma população, forneceu os valores \bar{X}=15 e S^{2}=16. Fixando-se \varepsilon_{0}=0,5 e \gamma=0,95, calcule o valor de n.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o tamanho amostral n necessário para que a estimativa da média tenha precisão \varepsilon_{0} com nível de confiança \gamma.\n
Informações dadas:
\bar{X}=15
S^{2}=16
\varepsilon_{0}=0,5
\gamma=0,95
\text{tamanho da amostra piloto} = 10

Passo 2

Entender o objetivo em termos de probabilidade: queremos que a média amostral \bar{X} esteja, com probabilidade pelo menos \gamma, a uma distância \varepsilon_{0} da média verdadeira \mu. Em termos de intervalo de confiança isto significa escolher n tal que a meia- largura do intervalo seja \varepsilon_{0}.\n
A fórmula da meia-largura (margin of error) de um intervalo de confiança para a média, quando usamos a aproximação normal, é
\text{meia-largura} = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
\alpha = 1-\gamma,
z_{1-\alpha/2}
é o quantil superior da Normal padrão, \sigma é o desvio-padrão da população e n é o tamanho amostral que queremos determinar.

Passo 3

Explicar cada símbolo de forma simples:
  • \alpha = 1-\gamma representa o nível de significância. Aqui \alpha = 1-0,95 = 0,05.
  • z_{1-\alpha/2} é o ponto tal que a probabilidade à esquerda é 1-\alpha/2. Para \alpha=0,05 temos 1-\alpha/2 = 0,975, e o valor tabelado é z_{0,975}=1,96. Isto vem da tabela da distribuição Normal padrão.
  • \sigma é desconhecido; usamos a estimativa piloto \hat{\sigma}=\sqrt{S^{2}} obtida da amostra piloto.

Passo 4

Calcular a estimativa do desvio-padrão a partir da amostra piloto:
\hat{\sigma}=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{16}=4.
Explicação curta: S^{2} é a variância amostral; a raiz quadrada dá o desvio-padrão amostral, que usamos como aproximação de \sigma.

Passo 5

Relacionar a meia-largura desejada com n: impomos
z_{1-\alpha/2}\,\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}\le \varepsilon_{0}.
Isolando n:
\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \le \frac{\varepsilon_{0}}{z_{1-\alpha/2}}
\sqrt{n} \ge \frac{z_{1-\alpha/2}\,\hat{\sigma}}{\varepsilon_{0}}
n \ge \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\hat{\sigma}}{\varepsilon_{0}}\right)^{2}.
Essa é a fórmula padrão para o cálculo de tamanho amostral quando usamos a variância estimada por uma amostra piloto.

Passo 6

Substituir os valores numéricos:
\alpha=0,05\Rightarrow z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96.
\hat{\sigma}=4,\quad \varepsilon_{0}=0,5.
Portanto
n \ge \left(\frac{1,96\cdot 4}{0,5}\right)^{2}.

Passo 7

Fazer as contas passo a passo:
\frac{4}{0,5}=8,
1,96\cdot 8 = 15,68,
(15,68)^{2}=245,8624.
Logo
n \ge 245,8624.

Passo 8

Como n deve ser inteiro e devemos garantir a precisão pedida (não podemos aceitar um n menor que o requerido), arredondamos para cima:
n=246.

Resposta

n=246

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