Suponha que uma pequena amostra piloto de tamanho 10 , extraída de uma população, forneceu os valores
e
. Fixando-se
e
, calcule o valor de
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o tamanho amostral
necessário para que a estimativa da média tenha precisão
com nível de confiança
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Entender o objetivo em termos de probabilidade: queremos que a média amostral
esteja, com probabilidade pelo menos
, a uma distância
da média verdadeira
. Em termos de intervalo de confiança isto significa escolher
tal que a meia- largura do intervalo seja
.\n
A fórmula da meia-largura (margin of error) de um intervalo de confiança para a média, quando usamos a aproximação normal, é
A fórmula da meia-largura (margin of error) de um intervalo de confiança para a média, quando usamos a aproximação normal, é
onde:
é o quantil superior da Normal padrão,
é o desvio-padrão da população e
é o tamanho amostral que queremos determinar.
Passo 3
Explicar cada símbolo de forma simples:
-
representa o nível de significância. Aqui . -
é o ponto tal que a probabilidade à esquerda é . Para temos , e o valor tabelado é . Isto vem da tabela da distribuição Normal padrão. -
é desconhecido; usamos a estimativa piloto obtida da amostra piloto.
Passo 4
Calcular a estimativa do desvio-padrão a partir da amostra piloto:
Explicação curta:
é a variância amostral; a raiz quadrada dá o desvio-padrão amostral, que usamos como aproximação de
.
Passo 5
Relacionar a meia-largura desejada com
: impomos
Isolando
:
Essa é a fórmula padrão para o cálculo de tamanho amostral quando usamos a variância estimada por uma amostra piloto.
Passo 6
Substituir os valores numéricos:
Portanto
Passo 7
Fazer as contas passo a passo:
Logo
Passo 8
Como
deve ser inteiro e devemos garantir a precisão pedida (não podemos aceitar um
menor que o requerido), arredondamos para cima: