Sejam A, B, C, D quatro pontos tais que os segmentos \overline{A B} e \overline{C D} têm o mesmo ponto médio M. Prove que \overline{A C} \equiv \overline{B D}.

Passo 1

O enunciado dá que os segmentos \overline{A B} e \overline{C D} têm o mesmo ponto médio M. O que se pede é provar que \overline{A C} \equiv \overline{B D}, isto é, que os comprimentos dos segmentos AC e BD são iguais. Informações relevantes que temos:
\begin{aligned} &\text{(i)}\\ M\\ \text{é o ponto médio de }\overline{A B},\\\ &\text{(ii)}\\ M\\ \text{é o ponto médio de }\overline{C D}. \end{aligned}éééé
Nada mais é dado. A resolução começa a partir dessas duas igualdades de ponto médio.

Passo 2

Explique o que significa “ponto médio”. Por definição, M ser ponto médio de \overline{A B} significa duas coisas: M está sobre o segmento \overline{A B} e os comprimentos \overline{M A} e \overline{M B} são iguais. Em símbolos:
\overline{M A} = \overline{M B}.
De modo análogo, M ser ponto médio de \overline{C D} significa
\overline{M C} = \overline{M D}.
Essas igualdades nos dizem que A e B estão “à mesma distância” de M, e o mesmo vale para C e D.

Passo 3

Para organizar as contas, coloque um sistema de referência com origem em M. Isso é uma técnica muito útil em provas: escolhemos M como origem e representamos cada ponto por seu vetor posição em relação a M. Defina:
\vec{a}=\overrightarrow{M A},\qquad \vec{b}=\overrightarrow{M B},\qquad \vec{c}=\overrightarrow{M C},\qquad \vec{d}=\overrightarrow{M D}.
Aqui \vec{a} é o vetor que vai de M a A, etc. O comprimento de um segmento, por exemplo \overline{A C}, é igual à norma (módulo) do vetor \overrightarrow{A C}.

Passo 4

Use a condição de ponto médio em linguagem vetorial. Como M é ponto médio de \overline{A B}, os vetores \overrightarrow{M A} e \overrightarrow{M B} têm a mesma direção contrária a partir de M; em termos algébricos, somando-os obtemos o vetor zero (pois M está entre A e B):
\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M M}=\vec{0}.
Logo
\vec{b}=-\vec{a}.
Do mesmo modo, da condição para \overline{C D} vem
\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad \vec{d}=-\vec{c}.
Estas igualdades são justas e simples: se M é o ponto médio, o vetor até o outro extremo é o oposto.

Passo 5

Agora escreva os vetores que representam os segmentos AC e BD em função de \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}. Em geral, para quaisquer pontos X,Y temos \overrightarrow{X Y}=\overrightarrow{M Y}-\overrightarrow{M X}. Assim,
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{M C}-\overrightarrow{M A}=\vec{c}-\vec{a},
\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{M D}-\overrightarrow{M B}=\vec{d}-\vec{b}.

Passo 6

Use as relações obtidas em

Passo 7

\overrightarrow{B D}=\vec{d}-\vec{b}=(-\vec{c})-(-\vec{a})=-\vec{c}+\vec{a}=-(\vec{c}-\vec{a}).
Portanto encontramos a relação vetorial simples
\overrightarrow{B D}= -\,\overrightarrow{A C}.

Passo 8

Interprete a relação vetorial obtida. Se \overrightarrow{B D}=-\overrightarrow{A C}, então \overrightarrow{B D} e \overrightarrow{A C} têm a mesma direção e o mesmo comprimento, apenas apontam em sentidos opostos. Em termos de norma (módulo) de vetores, para todo vetor \vec{w} vale |-\vec{w}|=|\vec{w}|. Aplicando isso obtemos:
|\overrightarrow{B D}| = |-\overrightarrow{A C}| = |\overrightarrow{A C}|.
Como o comprimento do segmento XY é definido como |\overrightarrow{X Y}|, concluímos que os comprimentos de AC e BD são iguais.

Passo 9

Conclua a prova e destaque o que foi usado. A igualdade |\overrightarrow{B D}|=|\overrightarrow{A C}| mostra que \overline{A C} e \overline{B D} são congruentes (mesma medida). Tudo se resumiu a colocar M como origem, usar que pontos opostos em relação a M têm vetores opostos, e então comparar os vetores dos dois segmentos.

Resposta

\overline{A C} \equiv \overline{B D}

Exercícios relacionados