Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y, z)=x y \arcsin (y z)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y,z)=x\,y\,\arcsin(yz). \n
Informações dadas que vamos usar:
f(x,y,z)=x\,y\,\arcsin(yz).
As derivadas parciais que precisamos são \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}. Em derivadas parciais, cada vez que derivamos em relação a uma variável tratamos as outras como constantes.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos aplicar (explicadas de forma bem prática):
  • Produto: se h(u,v)=u\cdot v então
\frac{\partial}{\partial t}(u\cdot v)=\frac{\partial u}{\partial t}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial t},
ou seja, derivamos um fator mantendo o outro fixo e somamos os dois termos.
  • Regra da cadeia: se v(t)=\varphi(\psi(t)) então
\frac{dv}{dt}=\varphi'(\psi(t))\cdot\psi'(t).
Isso serve quando temos uma função composta, por exemplo \arcsin(\text{algo}).
  • Derivada de \arcsin: para uma variável u,
\frac{d}{du}\big(\arcsin(u)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Aplicando a regra da cadeia, para \arcsin(yz) que é \arcsin(u) com u=yz, a derivada em relação a y é \dfrac{1}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(yz).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Aqui \arcsin(yz) e y são constantes quando derivamos em relação a x. Então usamos a regra de derivada do produto para x\cdot (y\arcsin(yz)), mas é mais simples observar que f é linear em x com coeficiente y\arcsin(yz). Assim
\frac{\partial f}{\partial x}=y\,\arcsin(yz).
Explicando passo a passo: \partial (x)/\partial x=1, então fica 1\cdot y\arcsin(yz).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Escrevemos f como produto de duas funções que dependem de y:
u(x,y)=x\,y,\qquad v(y,z)=\arcsin(yz).
Pelo produto,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Calculamos cada termo:
  • \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial (x\,y)}{\partial y}=x (pois x é constante ao derivar em y).
  • Para \dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(\arcsin(yz)\big) usamos a regra da cadeia: seja w(y)=yz. Então
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}\cdot\frac{\partial (yz)}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}\cdot z=\frac{z}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}.
Agora juntamos:
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\arcsin(yz)+x\,y\cdot\frac{z}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}.
Podemos fatorar x se quiser:
\frac{\partial f}{\partial y}=x\left(\arcsin(yz)+\frac{y z}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}\right).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Agora x e y são constantes ao diferenciar em relação a z. A única dependência em z está em \arcsin(yz). Assim
\frac{\partial f}{\partial z}=x\,y\cdot\frac{\partial}{\partial z}\big(\arcsin(yz)\big).
Aplicando a regra da cadeia como no passo anterior, com w(z)=yz temos \dfrac{dw}{dz}=y, então
\frac{\partial}{\partial z}\big(\arcsin(yz)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}\cdot y=\frac{y}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=x\,y\cdot\frac{y}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}=\frac{x\,y^{2}}{\sqrt{1-(yz)^{2}}}.

Passo 6

Observação sobre domínio (importante para a prova): a fórmula da derivada de \arcsin(u) usada exige |u|<1 para evitar divisão por zero na raiz. Aqui u=yz. Assim as fórmulas com \dfrac{1}{\sqrt{1-(yz)^{2}}} são válidas quando |yz|<1. Em pontos onde |yz|=1 a derivada pode não existir (ou ser infinita).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y\,\arcsin(yz)\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x\,\arcsin(yz)+\frac{x\,y\,z}{\sqrt{1-(y z)^{2}}}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{x\,y^{2}}{\sqrt{1-(y z)^{2}}}

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