Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
. \n
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
As derivadas parciais que precisamos são
,
e
. Em derivadas parciais, cada vez que derivamos em relação a uma variável tratamos as outras como constantes.
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos aplicar (explicadas de forma bem prática):
- Produto: se
então
ou seja, derivamos um fator mantendo o outro fixo e somamos os dois termos.
- Regra da cadeia: se
então
Isso serve quando temos uma função composta, por exemplo
.
- Derivada de
: para uma variável ,
Aplicando a regra da cadeia, para
que é
com
, a derivada em relação a
é
.
Passo 3
Calcular
.
Aqui
e
são constantes quando derivamos em relação a
. Então usamos a regra de derivada do produto para
, mas é mais simples observar que
é linear em
com coeficiente
. Assim
Explicando passo a passo:
, então fica
.
Passo 4
Calcular
.
Escrevemos
como produto de duas funções que dependem de
:
Pelo produto,
Calculamos cada termo:
-
(pois é constante ao derivar em ). - Para
usamos a regra da cadeia: seja . Então
Agora juntamos:
Podemos fatorar
se quiser:
Passo 5
Calcular
.
Agora
e
são constantes ao diferenciar em relação a
. A única dependência em
está em
. Assim
Aplicando a regra da cadeia como no passo anterior, com
temos
, então
Portanto
Passo 6
Observação sobre domínio (importante para a prova): a fórmula da derivada de
usada exige
para evitar divisão por zero na raiz. Aqui
. Assim as fórmulas com
são válidas quando
. Em pontos onde
a derivada pode não existir (ou ser infinita).