Use a regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
.
O que nos pedem: determinar (a derivada de
em relação a
), ou seja, como
muda quando
varia, sabendo que
e
dependem de
.
O que nos pedem: determinar
Passo 2
Ideia do método (fórmula que vamos usar) — regra da cadeia para funções de duas variáveis:
Explicando devagar:
é a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixo).
é a taxa de variação de
quando só
muda. Como
e
dependem de
, a variação total de
é a soma das contribuições de
e de
, cada uma multiplicada pela rapidez com que
ou
mudam com
(isto é,
e
).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
: tratamos
como constante. A derivada de
é
, e
é constante:
Derivada parcial em relação a
: tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
, e
é constante:
(Obs.: usei
para manter o mesmo texto do enunciado; é o mesmo que
.)
Passo 4
Calcular
e
.
Para
(função linear), derivando em
:
Para
, aplicamos a regra da potência:
Passo 5
Substituir as parciais e as derivadas de
na fórmula da regra da cadeia (ainda expressando em termos de
,
e
):
Isto é a forma da derivada antes de substituir explicitamente
e
. O próximo passo é trocar
e
por suas expressões em função de
.
Passo 6
Substituir
e
na expressão anterior para obter a derivada como função de
. Observação sobre domínio: a expressão com
exige
para que tudo esteja bem definido (em
teríamos problema com
no denominador).