Use a regra da cadeia para determinar \frac{d f}{d t}.
f(x, y)=\operatorname{sen} x \cos y, x=\pi t, y=\sqrt{t}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
f(x,y)=\operatorname{sen} x\cos y,
x=\pi t,
y=\sqrt{t}.
O que nos pedem: determinar \dfrac{d f}{d t} (a derivada de f em relação a t), ou seja, como f muda quando t varia, sabendo que x e y dependem de t.

Passo 2

Ideia do método (fórmula que vamos usar) — regra da cadeia para funções de duas variáveis:
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando devagar: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só x muda (mantendo y fixo). \dfrac{\partial f}{\partial y} é a taxa de variação de f quando só y muda. Como x e y dependem de t, a variação total de f é a soma das contribuições de x e de y, cada uma multiplicada pela rapidez com que x ou y mudam com t (isto é, dx/dt e dy/dt).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\operatorname{sen} x\cos y.
Derivada parcial em relação a x: tratamos y como constante. A derivada de \operatorname{sen} x é \cos x, e \cos y é constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos x\cdot\cos y.
Derivada parcial em relação a y: tratamos x como constante. A derivada de \cos y em relação a y é -\sin y, e \operatorname{sen} x é constante:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\operatorname{sen} x\cdot\sin y.
(Obs.: usei \operatorname{sen} para manter o mesmo texto do enunciado; é o mesmo que \sin.)

Passo 4

Calcular dx/dt e dy/dt.
Para x=\pi t (função linear), derivando em t:
\frac{dx}{dt}=\pi.
Para y=\sqrt{t}=t^{1/2}, aplicamos a regra da potência:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 5

Substituir as parciais e as derivadas de x,y na fórmula da regra da cadeia (ainda expressando em termos de x, y e t):
\frac{df}{dt}=\left(\cos x\cos y\right)\cdot\pi+\left(-\operatorname{sen} x\sin y\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Isto é a forma da derivada antes de substituir explicitamente x=\pi t e y=\sqrt{t}. O próximo passo é trocar x e y por suas expressões em função de t.

Passo 6

Substituir x=\pi t e y=\sqrt{t} na expressão anterior para obter a derivada como função de t. Observação sobre domínio: a expressão com \dfrac{1}{2\sqrt{t}} exige t>0 para que tudo esteja bem definido (em t=0 teríamos problema com \sqrt{t} no denominador).

Resposta

\frac{df}{dt}=\pi\cos\big(\pi t\big)\cos\big(\sqrt{t}\big)-\frac{1}{2\sqrt{t}}\operatorname{sen}\big(\pi t\big)\sin\big(\sqrt{t}\big)

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