Determine se as funções abaixo são transformações lineares.
T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x, raizx y, y)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon R^2toR^3, T(x,y) = l(x,;raizx,y,;yr)
Queremos verificar se T é uma transformação linear, ou seja, se para todos (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e todo escalar c valem
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r)=T(x1,y1)+T(x2,y2) e Tl(c,(x,y)r)=c,T(x,y)

Passo 2

Verificação da homogeneidade T(c,(x,y))stackrel?=c,T(x,y):
Tl(c,x,;c,yr) =l(c,x,;raiz(c,x)(c,y),;c,yr) =l(c,x,;raizc^2,raizx,y,;c,yr) =l(c,x,;|c|,raizx,y,;c,yr)
Por outro lado,
c,T(x,y) =l(c,x,;c,raizx,y,;c,yr)
Como em geral |c|neq c (especialmente quando c<0), a segunda coordenada não coincide para todo c. Logo, a homogeneidade falha.

Passo 3

Verificação da aditividade
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) =Tl(x1+x2,;y1+y2r) =l(x1+x2,;raiz(x1+x2)(y1+y2),;y1+y2r)
enquanto
T(x1,y1)+T(x2,y2) =l(x1,raizx1y1,y1r) + l(x2,raizx2y2,y2r) =l(x1+x2,;raizx1y1+raizx2y2,;y1+y2r)
Como raiz(x1+x2)(y1+y2)neq raizx1y1+raizx2y2 de modo geral, falha também a aditividade.

Resposta

A aplicação T não é uma transformação linear.

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