Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e em relação a
das funções abaixo. Simplifique as expressões sempre que possível.
, para
;
Passo 1
O enunciado dá a função
com a condição
, e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e em relação a
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma razão entre duas funções de
e . - O domínio exige
. - As perguntas são: calcular
e .
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede a taxa de variação de quando só varia e é mantido fixo. - Analogamente,
mede a taxa de variação quando só varia e é fixo.
Regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Regra do quociente (para funções de duas variáveis funciona igual que para uma variável): se
com , então
onde
e
. A mesma fórmula vale trocando
por
.
- Ao calcular
ou , trate como constante; ao calcular ou , trate como constante.
Passo 3
Escolha do método: aqui a forma
sugere usar a regra do quociente, porque temos claramente um numerador
e um denominador
. A regra do quociente dá uma conta direta e limpa. (Também seria possível escrever
e aplicar produto+cadeia; ambas dão o mesmo resultado.)
Passo 4
Aplicando a regra do quociente para a derivada parcial em relação a
.
Defina
Calcule as derivadas parciais necessárias:
pois
é tratado como constante aqui; e
pois
varia e
é constante.
Agora aplique a fórmula do quociente:
Passo 5
Simplifique a expressão obtida para
. Desenvolvendo o numerador:
Portanto
válido sempre que
.
Passo 6
Agora calcule a derivada parcial em relação a
usando o mesmo procedimento.
Usamos novamente
Dessa vez:
pois
é tratado como constante; e
Aplique a fórmula do quociente:
Passo 7
Simplifique a expressão para
. No numerador:
Portanto
válido sempre que
.