Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e em relação a y das funções abaixo. Simplifique as expressões sempre que possível.
f(x, y)=\frac{x+y}{1+x y}, para 1+x y \neq 0;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x+y}{1+xy},
com a condição 1+xy\neq0, e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e em relação a y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão entre duas funções de x e y.
  • O domínio exige 1+xy\neq0.
  • As perguntas são: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando só x varia e y é mantido fixo.
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a taxa de variação quando só y varia e x é fixo.
Regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Regra do quociente (para funções de duas variáveis funciona igual que para uma variável): se f(x,y)=\dfrac{u(x,y)}{v(x,y)} com v\neq0, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{u_x v - u v_x}{v^2},
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} e v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x}. A mesma fórmula vale trocando x por y.
  • Ao calcular u_x ou v_x, trate y como constante; ao calcular u_y ou v_y, trate x como constante.

Passo 3

Escolha do método: aqui a forma \dfrac{x+y}{1+xy} sugere usar a regra do quociente, porque temos claramente um numerador u e um denominador v. A regra do quociente dá uma conta direta e limpa. (Também seria possível escrever f=(x+y)(1+xy)^{-1} e aplicar produto+cadeia; ambas dão o mesmo resultado.)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para a derivada parcial em relação a x.
Defina
u(x,y)=x+y,\qquad v(x,y)=1+xy.
Calcule as derivadas parciais necessárias:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,
pois y é tratado como constante aqui; e
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(1+xy)=y,
pois x varia e y é constante.
Agora aplique a fórmula do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{u_x v - u v_x}{v^2} =\frac{1\cdot(1+xy)-(x+y)\cdot y}{(1+xy)^2}.

Passo 5

Simplifique a expressão obtida para \dfrac{\partial f}{\partial x}. Desenvolvendo o numerador:
1\cdot(1+xy)-(x+y)\cdot y = 1+xy - (xy + y^2) = 1+xy-xy-y^2 = 1-y^2.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1-y^2}{(1+xy)^2},
válido sempre que 1+xy\neq0.

Passo 6

Agora calcule a derivada parcial em relação a y usando o mesmo procedimento.
Usamos novamente
u(x,y)=x+y,\qquad v(x,y)=1+xy.
Dessa vez:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,
pois x é tratado como constante; e
v_y=\frac{\partial}{\partial y}(1+xy)=x.
Aplique a fórmula do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{u_y v - u v_y}{v^2} =\frac{1\cdot(1+xy)-(x+y)\cdot x}{(1+xy)^2}.

Passo 7

Simplifique a expressão para \dfrac{\partial f}{\partial y}. No numerador:
1\cdot(1+xy)-(x+y)\cdot x = 1+xy - (x^2 + xy) = 1+xy-x^2-xy = 1-x^2.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1-x^2}{(1+xy)^2},
válido sempre que 1+xy\neq0.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{1-y^2}{(1+xy)^2}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{1-x^2}{(1+xy)^2}

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