Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
,
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso envolve conceitos de derivadas parciais, logaritmos e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar essas regras para achar as derivadas em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Lembre-se que
. Aplicando isso na nossa função:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a
é
, e então multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Como
é uma constante em relação a
, a derivada de
em relação a
é zero, e a derivada de
é
:
Passo 4
De forma semelhante, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Aplicamos a mesma regra da cadeia:
Aqui,
é constante em relação a
, então a derivada de
é zero, e a derivada de
é
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e