Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
u=ln raizx^2+y^2,

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função u = ln raizx^2 + y^2 . Isso envolve conceitos de derivadas parciais, logaritmos e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar essas regras para achar as derivadas em relação a x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Lembre-se que ln raizA = 12 ln A . Aplicando isso na nossa função:
u = ln raizx^2 + y^2 = 12 ln (x^2 + y^2)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de u em relação a x , que denotamos por partial upartial x . Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de ln A em relação a A é 1A , e então multiplicamos pela derivada de A em relação a x .
partial upartial x = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot partialpartial x(x^2 + y^2)
Como y é uma constante em relação a x , a derivada de y^2 em relação a x é zero, e a derivada de x^2 é 2x :
partial upartial x = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot 2x = xx^2 + y^2

Passo 4

De forma semelhante, vamos encontrar a derivada parcial de u em relação a y , denotada por partial upartial y . Aplicamos a mesma regra da cadeia:
partial upartial y = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot partialpartial y(x^2 + y^2)
Aqui, x é constante em relação a y , então a derivada de x^2 é zero, e a derivada de y^2 é 2y :
partial upartial y = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot 2y = yx^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial upartial x = xx^2 + y^2
e
partial upartial y = yx^2 + y^2

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