Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
z=x yx-y.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = \frac{xy}{x - y} $. Isso pertence ao estudo de cálculo diferencial, mais especificamente às derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais, ou seja, derivadas em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, que é denotada por $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é $ z = \frac{xy}{x - y} $. Vamos aplicar a regra do quociente para derivadas, que diz:
z
Aqui, $ u = xy $ e $ v = x - y $.

Passo 3

Primeiro, calculemos $ \frac{du}{dx} $:
dudx
Porque $ y $ é tratado como constante.
Agora, calculemos $ \frac{dv}{dx} $:
dudx = ddx(xy) = y

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
partial zpartial x = (x - y) cdot y - xy cdot 1(x - y)^2
Simplificando o numerador:
(x - y)y - xy = xy - y^2 - xy = -y^2
Então:
partial zpartial x = - y^2 (x - y)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante.
Novamente, usamos a regra do quociente para $ z = \frac{xy}{x - y} $.

Passo 6

Calculemos $ \frac{du}{dy} $:
dudy
E $ \frac{dv}{dy} $:
dudy = ddy(xy) = x

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
partial zpartial y = (x - y) cdot x - xy cdot (-1)(x - y)^2
Simplificando o numerador:
(x - y)x + xy = x^2 - xy + xy = x^2
Então:
partial zpartial y = x^2 (x - y)^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = \frac{xy}{x - y} $ são:
z = xyx - y
e
partial zpartial x = - y^2 (x - y)^2

Exercícios relacionados