Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = \frac{xy}{x - y} $. Isso pertence ao estudo de cálculo diferencial, mais especificamente às derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais, ou seja, derivadas em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, que é denotada por $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é $ z = \frac{xy}{x - y} $. Vamos aplicar a regra do quociente para derivadas, que diz:
Aqui, $ u = xy $ e $ v = x - y $.
Passo 3
Primeiro, calculemos $ \frac{du}{dx} $:
Porque $ y $ é tratado como constante.
Agora, calculemos $ \frac{dv}{dx} $:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante.
Novamente, usamos a regra do quociente para $ z = \frac{xy}{x - y} $.
Passo 6
Calculemos $ \frac{du}{dy} $:
E $ \frac{dv}{dy} $:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = \frac{xy}{x - y} $ são:
e