Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = x e^{3y} $ e depois verificar o Teorema de Clairaut. Esse teorema basicamente diz que, se as derivadas mistas de segunda ordem forem contínuas, então $ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar esse teorema no final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a $ x $. Quando tiramos a derivada parcial em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. A função é $ f(x, y) = x e^{3y} $.
A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante. A função é $ f(x, y) = x e^{3y} $.
A derivada de $ e^{3y} $ em relação a $ y $ é $ 3 e^{3y} $, então:
Passo 4
Vamos agora encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a $ x $:
Porque $ e^{3y} $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $.
Passo 5
Em seguida, a derivada mista: primeiro derivar em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $:
Passo 6
Agora, vamos derivar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $:
Passo 7
Por último, a segunda derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 8
Agora que temos todas as derivadas parciais de segunda ordem, vamos verificar o Teorema de Clairaut. Precisamos ver se:
Substituindo os valores que encontramos:
Como as duas derivadas são iguais, o Teorema de Clairaut está verificado para essa função.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
E o Teorema de Clairaut foi verificado, já que $ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $.