Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
A função dada é f(x,t)=e^{\x7fsen(t/x)}, e queremos as derivadas parciais de primeira ordem. O conteúdo envolve regra da cadeia em multivariáveis, derivada do exponencial, derivada do seno e derivada de t/x.
Passo 2
Para organizar, note que temos uma composição de três funções: u(x,t)=t/x, v(u)=\sin(u) e f(v)=\exp(v). Pela regra da cadeia, \frac{\partial f}{\partial x}=f’(v)\cdot v’(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Passo 3
Calculemos cada parte para \partial f/\partial x: v’(u)=\cos(u), e \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(t/x\bigr)=-\tfrac{t}{x^2}. Logo,
Para \partial f/\partial t, aplicamos regra da cadeia similar: \frac{\partial f}{\partial t}=f’(v)\cdot v’(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial t}. Aqui \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{x}, então