Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, t)=e^sen(t / x)

Passo 1

A função dada é f(x,t)=e^{\x7fsen(t/x)}, e queremos as derivadas parciais de primeira ordem. O conteúdo envolve regra da cadeia em multivariáveis, derivada do exponencial, derivada do seno e derivada de t/x.

Passo 2

Para organizar, note que temos uma composição de três funções: u(x,t)=t/x, v(u)=\sin(u) e f(v)=\exp(v). Pela regra da cadeia, \frac{\partial f}{\partial x}=f’(v)\cdot v’(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.

Passo 3

Calculemos cada parte para \partial f/\partial x: v’(u)=\cos(u), e \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(t/x\bigr)=-\tfrac{t}{x^2}. Logo,
partial fpartial x=expl(sin(t/x)r)cdotcosl(t/xr)cdotl(-tfractx^2r)
Para \partial f/\partial t, aplicamos regra da cadeia similar: \frac{\partial f}{\partial t}=f’(v)\cdot v’(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial t}. Aqui \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{x}, então
partial fpartial t=expl(sin(t/x)r)cdotcosl(t/xr)cdottfrac1x

Resposta

fx(x,t)=expl(sin(t/x)r)cdotcosl(t/xr)cdotl(-tfractx^2r)
ft(x,t)=expl(sin(t/x)r)cdotcosl(t/xr)cdottfrac1x

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