Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z{2}+4}{z{2}-5 i z-4} d z ;|z-3 i|=1,3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointC z^2+4z^2 - 5 i z - 4,dz ao longo de C: |z - 3i| = 1.3. O conteúdo envolve teorema de Cauchy e teorema dos resíduos (Teoremas 5.5.1 e 5.5.2), então vamos precisar identificar polos isolados de f(z) e aplicar o contador de resíduos.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para achar os polos de f(z). Resolvendo z^2 - 5 i z -4 = 0 pela fórmula de Bhaskara complexa, obtemos:
z = 5 i pm raiz(5i)^2 + 162 = 5 i pm raiz-25 + 162 = 5 i pm 3 i2
Logo, z = 4i ou z = i.

Passo 3

Agora, determinamos quais polos estão dentro de C. O círculo é centrado em 3i com raio 1.3. Calculamos:
|4i - 3i| = 1 < 1.3, |i - 3i| = 2 > 1.3
Então apenas z = 4i está dentro do contorno.

Passo 4

Como z=4i é um polo simples, sua resíduo é dado por:
Res(f,4i) = limz to 4i (z-4i)z^2+4z^2 - 5 i z -4 = (4i)^2 + 42,(4i) - 5i = -16 + 48i - 5i = -123i = 4i

Passo 5

Por fim, aplicamos o teorema dos resíduos:
ointC z^2+4z^2 - 5 i z - 4,dz = 2pi i times Res(f,4i) = 2pi i cdot 4i

Resposta

-8\pi

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