Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z{2}+4}{z{2}-5 i z-4} d z ;|z-3 i|=1,3
\oint_{C} \frac{z{2}+4}{z{2}-5 i z-4} d z ;|z-3 i|=1,3
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
ao longo de
. O conteúdo envolve teorema de Cauchy e teorema dos resíduos (Teoremas 5.5.1 e 5.5.2), então vamos precisar identificar polos isolados de
e aplicar o contador de resíduos.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador para achar os polos de
. Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara complexa, obtemos:
Logo,
ou
.
Passo 3
Agora, determinamos quais polos estão dentro de
. O círculo é centrado em
com raio
. Calculamos:
Então apenas
está dentro do contorno.
Passo 4
Como
é um polo simples, sua resíduo é dado por:
Passo 5
Por fim, aplicamos o teorema dos resíduos:
Resposta
-8\pi