Resolva cada uma das integrais a seguir
integral sec ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sec^4 x ,dx. O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar as identidades
sec^4 x = sec^2 xcdotsec^2 x,
ddx(tan x)=sec^2 x e
sec^2 x=1+tan^2 x.

Passo 2

Para aproveitar a derivada de tan x, escrevemos
sec^4 x = sec^2 xcdotsec^2 x
De forma que um dos fatores sec^2 x,dx será exatamente d(tan x).

Passo 3

Fazendo a substituição u=tan x, temos du=sec^2 x,dx. Além disso, sec^2 x=1+tan^2 x=1+u^2. Assim a integral vira
integral sec^4 x,dx = integral (sec^2 x)(sec^2 x,dx) = integral (1+u^2),du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral (1+u^2),du = integral 1,du + integral u^2,du = u + u^33 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u=tan x. A solução é
tan x + tan^3 x3 + C

Resposta

tan x + tfractan^3 x3 + C

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