Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z^{2}+3 z+2 i}{z^{2}+3 z-4} d z;
|z|=2

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a integral ointCz^2+3z+2iz^2+3z-4,dz ao redor do contorno |z|=2. Isso envolve o conteúdo de integrais de contorno em funções complexas e, em particular, o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2). Para resolver, vamos identificar os polos de f(z)=z^2+3z+2iz^2+3z-4 dentro de |z|<2 e calcular seus resíduos.

Passo 2

Identificamos os polos de f(z) como as raízes do denominador. Resolvendo
z^2+3z-4=0
encontramos z=tfrac-3pmraiz9+162=1,,-4. Desses, somente z=1 está dentro de |z|<2.

Passo 3

Como o polo em z=1 é simples, usamos a fórmula do resíduo em polo simples:
Res(f,1)=limzto1(z-1)z^2+3z+2iz^2+3z-4
Isso equivale a avaliar o numerador em z=1 e dividir pela derivada do denominador em z=1.

Passo 4

Calculamos g(z)=z^2+3z-4 e sua derivada g'(z)=2z+3, então g'(1)=5. O numerador em z=1 vale 1^2+3cdot1+2i=4+2i. Logo
Res(f,1)=4+2i5

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
ointCf(z),dz=2pi isumpolos internosRes(f,cdot)=2pi icdot4+2i5
Efetuando o produto:
2pi i(4+2i)5=8pi i+4pi i^25=8pi i-4pi5

Resposta

-\frac{4\pi}{5}+\frac{8\pi i}{5}

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