Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z^{2}+3 z+2 i}{z^{2}+3 z-4} d z;
|z|=2
\oint_{C} \frac{z^{2}+3 z+2 i}{z^{2}+3 z-4} d z;
|z|=2
Passo 1
No enunciado, precisamos calcular a integral
ao redor do contorno
. Isso envolve o conteúdo de integrais de contorno em funções complexas e, em particular, o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2). Para resolver, vamos identificar os polos de
dentro de
e calcular seus resíduos.
Passo 2
Identificamos os polos de
como as raízes do denominador. Resolvendo
encontramos
Passo 3
Como o polo em
é simples, usamos a fórmula do resíduo em polo simples:
Isso equivale a avaliar o numerador em
Passo 4
Calculamos
e sua derivada
, então
. O numerador em
vale
. Logo
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Efetuando o produto:
Resposta
-\frac{4\pi}{5}+\frac{8\pi i}{5}