Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z^{2}+3 z+2 i}{z^{2}+3 z-4} d z;
|z+5|=\frac{3}{2}
\oint_{C} \frac{z^{2}+3 z+2 i}{z^{2}+3 z-4} d z;
|z+5|=\frac{3}{2}
Passo 1
Resumindo: queremos calcular a integral
sobre o contorno
dado por
. Esse problema envolve integração de funções complexas e usaremos principalmente o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2), complementado pelo Teorema de Cauchy quando necessário.
Passo 2
Fatoramos o denominador:
Portanto a função tem polos simples em
e
.
Passo 3
Verificamos quais polos estão dentro de
, que é um círculo de centro
e raio
. Para
temos
, logo está dentro. Para
temos
, está fora. Assim só
contribui.
Passo 4
Como o polo em
é simples, usamos a fórmula do resíduo para polo simples:
onde
e
, de modo que
. Logo
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2):