Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z^{2}+3 z+2 i}{z^{2}+3 z-4} d z;
|z+5|=\frac{3}{2}

Passo 1

Resumindo: queremos calcular a integral sobre o contorno dado por . Esse problema envolve integração de funções complexas e usaremos principalmente o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2), complementado pelo Teorema de Cauchy quando necessário.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
z^2+3z-4=(z+4)(z-1)
Portanto a função tem polos simples em e .

Passo 3

Verificamos quais polos estão dentro de , que é um círculo de centro e raio . Para temos , logo está dentro. Para temos , está fora. Assim só contribui.

Passo 4

Como o polo em Res(f,-4)=g(-4)h'(-4) é simples, usamos a fórmula do resíduo para polo simples:
Res(f,-4)=(-4)^2+3(-4)+2i2(-4)+3=16-12+2i-8+3=4+2i-5=-4+2i5
onde e , de modo que . Logo

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2):
ointC f(z),dz=2pi isumResinteriores=2pi il(-4+2i5r)=4pi5-8pi i5

Resposta

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