Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
f(x, y)=x sen(y-x),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = x sin(y - x) e verificar o Teorema de Clairaut. Isso envolve usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e propriedades de funções diferenciáveis. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x sin(y - x) . Isso significa que vamos derivar f em relação a x mantendo y constante, e depois derivar em relação a y mantendo x constante.

Passo 3

Vamos derivar em relação a x :
fx = partial fpartial x = sin(y - x) + x cos(y - x) cdot (-1)
Simplificando:
fx = sin(y - x) - x cos(y - x)
Agora, derivamos em relação a y :
fy = partial fpartial y = x cos(y - x) cdot (1)
Então:
fy = x cos(y - x)

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, derivamos fx em relação a x novamente:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x [sin(y - x) - x cos(y - x)]
Derivando termo a termo:
fxx = -cos(y - x) - cos(y - x) + x sin(y - x)
Simplificando:
fxx = -2cos(y - x) + x sin(y - x)
Agora, derivamos fx em relação a y :
fxy = partial^2 fpartial y partial x = partialpartial y [sin(y - x) - x cos(y - x)]
Derivando termo a termo:
fxy = cos(y - x) - x (-sin(y - x))
Simplificando:
fxy = cos(y - x) + x sin(y - x)
Em seguida, derivamos fy em relação a y :
fyy = partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y [x cos(y - x)]
Derivando:
fyy = -x sin(y - x)
Por fim, derivamos fy em relação a x :
fyx = partial^2 fpartial x partial y = partialpartial x [x cos(y - x)]
Derivando:
fyx = cos(y - x) + x sin(y - x)

Passo 5

Agora, vamos verificar o Teorema de Clairaut, que afirma que se f possui derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então fxy = fyx .
Comparando fxy e fyx :
fxy = cos(y - x) + x sin(y - x)
fyx = cos(y - x) + x sin(y - x)
Vemos que fxy = fyx , portanto, o Teorema de Clairaut está satisfeito para a função dada.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx = -2cos(y - x) + x sin(y - x)
fxy = fyx = cos(y - x) + x sin(y - x)
fyy = -x sin(y - x)
E o Teorema de Clairaut foi verificado, já que fxy = fyx .

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