Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
e verificar o Teorema de Clairaut. Isso envolve usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e propriedades de funções diferenciáveis. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
mantendo
constante, e depois derivar em relação a
mantendo
constante.
Passo 3
Vamos derivar em relação a
:
Simplificando:
Agora, derivamos em relação a
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, derivamos
em relação a
novamente:
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Agora, derivamos
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Derivando:
Por fim, derivamos
em relação a
:
Derivando:
Passo 5
Agora, vamos verificar o Teorema de Clairaut, que afirma que se
possui derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então
.
Comparando
e
:
Vemos que
, portanto, o Teorema de Clairaut está satisfeito para a função dada.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
E o Teorema de Clairaut foi verificado, já que
.