Encontre as funções (a) f "), (b) g "), (c) f e (d) g e seus domínios.
f(x)=x1+x, g(x)=sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre as composições de funções ,fcirc g e ,gcirc f e também as autocomposições f^2=fcirc f e g^2=gcirc g, além de determinar o domínio de cada uma delas.
O conteúdo envolvido é substituição direta em expressões de funções e análise de domínios, checando zeros de denominadores e restrições do seno.

Passo 2

Para calcular fcirc g fazemos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=fl(sin(2x)r) =sin(2x)1+sin(2x)
Para o domínio, precisamos de 1+sin(2x)neq0, isto é
sin(2x)neq-1 ;Longrightarrow; 2xneq tfrac3pi2+2pi k ;Longrightarrow; xneq tfrac3pi4+pi k,;kinZ

Passo 3

Para calcular fazemos
O único cuidado de domínio vem de , que exige , ou seja . A função seno aceita todo real, logo

Passo 4

Para calcular fazemos
Aqui o domínio vem de duas condições:
  1. para a primeira aplicação de , isto é .
  2. , o que equivale a , ou seja .
    Logo

Passo 5

Para calcular fazemos
Não há restrição: a função seno aceita qualquer número real como argumento. Logo

Resposta

(a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) ,

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