Questão 3 [ \mathbf{2 , 5} pontos] Considere a equação \sqrt{\frac{1-|x-1|}{x+1}}=2.
Faça o que se pede:
a. [1,5 pontos ] Determine os valores reais de x para os quais \sqrt{\frac{1-|x-1|}{x+1}} existe.
b. [1,0 ponto ] Resolva a equação \sqrt{\frac{1-|x-1|}{x+1}}=2. Caso nâo exista solução real, justifique.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) determinar os valores de x para os quais
\sqrt{\frac{1-|x-1|}{x+1}}
existe;
– (b) resolver a equação
\sqrt{\frac{1-|x-1|}{x+1}} = 2.
Vamos usar as condições de existência de radicais (argumento de raiz não negativo) e propriedades de valor absoluto.

Passo 2

Para a raiz existir, é preciso que
  1. o denominador seja não nulo, e
  2. o quociente dentro da raiz seja \ge0.
  3. Denominador: x+1 \neq 0; \Longrightarrow x\neq -1.
  4. Numerador \ge0:
1 - |x-1| \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad |x-1| \le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le x \le 2.
Além disso, para \frac{1-|x-1|}{x+1}\ge0 com 1-|x-1|\ge0, precisamos de x+1>0, ou seja x>-1.
Fazendo a interseção de 0\le x\le2 com x>-1 e excluindo x=-1, obtemos
\boxed{x\in[0,2].}

Passo 3

Agora, na equação
\sqrt{\frac{1-|x-1|}{x+1}} = 2,
já sabemos que qualquer solução deve satisfazer 0\le x\le2, onde x+1>0. Elevando ambos os lados ao quadrado:
\frac{1-|x-1|}{x+1} = 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 - |x-1| = 4(x+1) = 4x + 4.
Isolando o valor absoluto:
-|x-1| = 4x + 4 -1 = 4x + 3 \quad\Longrightarrow\quad |x-1| = -4x - 3.
O lado esquerdo é \ge0, mas para 0\le x\le2 o lado direito -4x-3\le -3<0. Não há x que satisfaça essa igualdade.

Resposta

a. x\in[0,2].
b. Não existe solução real.

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