Determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem das funções definidas por
z=x^{y}.

Passo 1

O enunciado define a função
z = x^y
com variáveis independentes x e y. Queremos as derivadas parciais de primeira ordem \partial_x z e \partial_y z e de segunda ordem \partial_{xx} z, \partial_{xy} z, \partial_{yx} z e \partial_{yy} z. Para facilitar a diferenciação em relação ao expoente, usamos a reescrita
x^y = e^{y \ln x}
e aplicamos as regras de derivação de exponencial e logaritmo.

Passo 2

Calcular \partial_x z.
Escrevendo z = e^{y\ln x}, pela regra da cadeia em relação a x (com y constante):
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{y\ln x}\cdot \frac{d}{dx}(y\ln x) = x^y \cdot y\frac{1}{x} = y\,x^{y-1}.

Passo 3

Calcular \partial_y z.
Usando z = e^{y\ln x} e derivando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{y\ln x}\cdot \frac{d}{dy}(y\ln x) = x^y \cdot \ln x = x^y\ln x.

Passo 4

Calcular \partial_{xx} z.
A partir de \partial_x z = y\,x^{y-1} e derivando de novo em x (com y constante):
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y\,(y-1)\,x^{y-2}.

Passo 5

Calcular as derivadas mistas \partial_{xy} z e \partial_{yx} z.
Pode-se derivar \partial_x z = y\,x^{y-1} em relação a y ou \partial_y z = x^y\ln x em relação a x. Ambas dão o mesmo resultado:
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = x^{y-1} + y\,x^{y-1}\ln x = x^{y-1}\bigl(1 + y\ln x\bigr).

Passo 6

Calcular \partial_{yy} z.
A partir de \partial_y z = x^y\ln x e derivando em y (com x constante):
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^y(\ln x)^2.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = y\,x^{y-1} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = x^y\ln x \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y(y-1)\,x^{y-2} \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} = x^{y-1}\bigl(1 + y\ln x\bigr) \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^y(\ln x)^2

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