Determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem das funções definidas por
.
Passo 1
O enunciado define a função
com variáveis independentes
e
. Queremos as derivadas parciais de primeira ordem
e
e de segunda ordem
,
,
e
. Para facilitar a diferenciação em relação ao expoente, usamos a reescrita
e aplicamos as regras de derivação de exponencial e logaritmo.
Passo 2
Calcular
.
Escrevendo , pela regra da cadeia em relação a
(com
constante):
Escrevendo
Passo 3
Calcular
.
Usando e derivando em relação a
(com
constante):
Usando
Passo 4
Calcular
.
A partir de e derivando de novo em
(com
constante):
A partir de
Passo 5
Calcular as derivadas mistas
e
.
Pode-se derivar em relação a
ou
em relação a
. Ambas dão o mesmo resultado:
Pode-se derivar
Passo 6
Calcular
.
A partir de e derivando em
(com
constante):
A partir de