Determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem das funções definidas por
g(x, y)=\left(4 x y-3 y^{3}\right)^{3}+5 x^{2} y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
g(x,y)=(4xy-3y^{3})^{3}+5x^{2}y.
O tema aqui é diferenciação de funções de duas variáveis, usando a regra da cadeia (para o termo elevado ao cubo) e a regra do produto (para 5x^2y).

Passo 2

Calcular \displaystyle g_{x}=\frac{\partial g}{\partial x}.
Derivando (4xy-3y^{3})^{3} em relação a x pela regra da cadeia e 5x^{2}y pela regra do produto, temos
\frac{\partial g}{\partial x} =3(4xy-3y^{3})^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(4xy-3y^{3}) +\frac{\partial}{\partial x}(5x^{2}y) =3(4xy-3y^{3})^{2}\cdot4y+10xy.
Logo,
g_{x}=12y\,(4xy-3y^{3})^{2}+10xy.

Passo 3

Calcular \displaystyle g_{y}=\frac{\partial g}{\partial y}.
Derivando (4xy-3y^{3})^{3} em relação a y e 5x^{2}y em relação a y, obtemos
\frac{\partial g}{\partial y} =3(4xy-3y^{3})^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(4xy-3y^{3}) +\frac{\partial}{\partial y}(5x^{2}y) =3(4xy-3y^{3})^{2}\,(4x-9y^{2})+5x^{2}.
Portanto,
g_{y}=3(4x-9y^{2})\,(4xy-3y^{3})^{2}+5x^{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle g_{xx}=\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}.
Derivando g_{x}=12y\,(4xy-3y^{3})^{2}+10xy em relação a x, trata-se de produto em que y é constante e de um termo linear em x:
g_{xx} =12y\cdot2(4xy-3y^{3})\cdot\frac{\partial}{\partial x}(4xy-3y^{3}) +10y =12y\cdot2(4xy-3y^{3})\cdot4y+10y =96y^{2}(4xy-3y^{3})+10y.

Passo 5

Calcular \displaystyle g_{xy}=\frac{\partial^2 g}{\partial y\partial x}.
Derivando g_{x}=12y\,(4xy-3y^{3})^{2}+10xy em relação a y:
g_{xy} =12\,(4xy-3y^{3})^{2} +12y\cdot2(4xy-3y^{3})\cdot\frac{\partial}{\partial y}(4xy-3y^{3}) +10x
\quad =12(4xy-3y^{3})^{2} +24y(4xy-3y^{3})(4x-9y^{2}) +10x.

Passo 6

Calcular \displaystyle g_{yy}=\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}.
Derivando g_{y}=3(4x-9y^{2})(4xy-3y^{3})^{2}+5x^{2} em relação a y, aplicamos produto e cadeia:
g_{yy} =3\cdot(-18y)\,(4xy-3y^{3})^{2} +3(4x-9y^{2})\cdot2(4xy-3y^{3})\cdot\frac{\partial}{\partial y}(4xy-3y^{3})
\quad =-54y\,(4xy-3y^{3})^{2} +6(4x-9y^{2})^{2}(4xy-3y^{3}).

Resposta

\displaystyle g_{x}=12y\,(4xy-3y^{3})^{2}+10xy \displaystyle g_{y}=3(4x-9y^{2})\,(4xy-3y^{3})^{2}+5x^{2} \displaystyle g_{xx}=96y^{2}(4xy-3y^{3})+10y \displaystyle g_{xy}=12(4xy-3y^{3})^{2}+24y(4xy-3y^{3})(4x-9y^{2})+10x \displaystyle g_{yy}=-54y\,(4xy-3y^{3})^{2}+6(4x-9y^{2})^{2}(4xy-3y^{3})

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