Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
g(x, y)=x^3 y^4-x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais da função g(x, y) = x^3 y^4 - x^2 y . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação parcial, que envolvem derivar em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de g em relação a x , ou seja, partial gpartial x . Quando derivamos em relação a x , tratamos y como uma constante.
A função é:
g(x, y) = x^3 y^4 - x^2 y
Derivando termo por termo:
  • Para x^3 y^4 , a derivada em relação a x é 3x^2 y^4 (usamos a regra do poder, multiplicamos o expoente por x e diminuímos o expoente em 1).
  • Para -x^2 y , a derivada em relação a x é -2x y .
Então, a derivada parcial em relação a x fica:
partial gpartial x = 3x^2 y^4 - 2x y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de g em relação a y , ou seja, partial gpartial y . Aqui, tratamos x como uma constante.
Novamente, a função é:
g(x, y) = x^3 y^4 - x^2 y
Derivando termo por termo:
  • Para x^3 y^4 , a derivada em relação a y é 4x^3 y^3 .
  • Para -x^2 y , a derivada em relação a y é -x^2 .
Então, a derivada parcial em relação a y fica:
partial gpartial y = 4x^3 y^3 - x^2

Resposta

As derivadas parciais da função g(x, y) = x^3 y^4 - x^2 y são:
partial gpartial x = 3x^2 y^4 - 2x y
e
partial gpartial y = 4x^3 y^3 - x^2

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