Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
z=ln (x yx+y)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função z = ln(x yx + y) e o objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a x e a y . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções compostas e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial nos mostra como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Aqui, queremos ver como z muda quando alteramos x e quando alteramos y , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de z em relação a x , ou seja, partial zpartial x . A função é um logaritmo, então usamos a regra da derivada do logaritmo natural:
ddx ln(u) = 1u cdot dudx
onde u = x yx + y .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dudx . Para isso, vamos derivar u = x yx + y em relação a x . Aplicamos a regra do quociente:
dudx = (y)(x + y) - (x y)(1)(x + y)^2
Explicando: a derivada de x y em relação a x é y , e a derivada de x + y em relação a x é 1.

Passo 5

Simplificando a expressão:
dudx = y(x + y) - x y(x + y)^2 = y x + y^2 - x y(x + y)^2 = y^2(x + y)^2

Passo 6

Voltando à derivada de z :
partial zpartial x = 1u cdot dudx = 1x yx + y cdot y^2(x + y)^2 = x + yx y cdot y^2(x + y)^2 = yx (x + y)

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a y , ou seja, partial zpartial y . Usamos a mesma regra do logaritmo:
partial zpartial y = 1u cdot dudy
onde u = x yx + y .

Passo 8

Calculando dudy derivando u = x yx + y em relação a y :
dudy = (x)(x + y) - (x y)(1)(x + y)^2
Aqui, a derivada de x y em relação a y é x , e a derivada de x + y em relação a y é 1.

Passo 9

Simplificando:
dudy = x(x + y) - x y(x + y)^2 = x^2 + x y - x y(x + y)^2 = x^2(x + y)^2

Passo 10

Voltando à derivada de z :
partial zpartial y = 1x yx + y cdot x^2(x + y)^2 = x + yx y cdot x^2(x + y)^2 = xy (x + y)

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial zpartial x = yx (x + y) e partial zpartial y = xy (x + y)

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