Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
e o objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções compostas e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial nos mostra como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Aqui, queremos ver como
muda quando alteramos
e quando alteramos
, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é um logaritmo, então usamos a regra da derivada do logaritmo natural:
onde
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos derivar
em relação a
. Aplicamos a regra do quociente:
Explicando: a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Voltando à derivada de
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos a mesma regra do logaritmo:
onde
.
Passo 8
Calculando
derivando
em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 9
Simplificando:
Passo 10
Voltando à derivada de
:
Resposta
As derivadas parciais da função são: