Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monotônica. A sequência é limitada? Justifique suas afirmações.
an=n+1n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a sequência definida por an = n + 1n . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência é crescente, decrescente ou não-monotônica. Além disso, vamos verificar se ela é limitada. Para isso, vamos usar conceitos de monotonicidade e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta conforme n aumenta. Olha só, an = n + 1n é a soma de duas partes: n , que cresce sem limites conforme n aumenta, e 1n , que diminui e se aproxima de zero quando n fica maior.

Passo 3

Vamos verificar se a sequência é crescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, se an+1 > an para todo n .
Calculando an+1 - an :
an+1 - an = ( (n+1) + 1n+1 ) - ( n + 1n ) = 1 + 1n+1 - 1n
Simplificando:
1 + 1n+1 - 1n = 1 + ( n - (n+1)n(n+1) ) = 1 - 1n(n+1)
Como n >= 1 , 1n(n+1) é sempre positivo, então:
1 - 1n(n+1) > 0
Isso mostra que an+1 > an para todo n , ou seja, a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos ver se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é maior que todos os seus termos (limite superior) e outro que é menor que todos os seus termos (limite inferior).
Analisando an = n + 1n :
  • Conforme n aumenta, n vai para o infinito.
  • A parte 1n vai para zero.
Portanto, an também tende para o infinito quando n tende para o infinito. Isso significa que não existe um limite superior finito para a sequência.
Quanto ao limite inferior, o menor valor de an ocorre quando n = 1 :
a1 = 1 + 11 = 2
Assim, todos os termos da sequência são maiores ou iguais a 2.

Resposta

A sequência an = n + 1n é crescente e não é limitada superiormente. Ela é limitada inferiormente por 2.

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