Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monotônica. A sequência é limitada? Justifique suas afirmações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a sequência definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência é crescente, decrescente ou não-monotônica. Além disso, vamos verificar se ela é limitada. Para isso, vamos usar conceitos de monotonicidade e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta conforme
aumenta. Olha só,
é a soma de duas partes:
, que cresce sem limites conforme
aumenta, e
, que diminui e se aproxima de zero quando
fica maior.
Passo 3
Vamos verificar se a sequência é crescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, se
para todo
.
Calculando
:
Simplificando:
Como
,
é sempre positivo, então:
Isso mostra que
para todo
, ou seja, a sequência é crescente.
Passo 4
Agora, vamos ver se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é maior que todos os seus termos (limite superior) e outro que é menor que todos os seus termos (limite inferior).
Analisando
:
- Conforme
aumenta, vai para o infinito. - A parte
vai para zero.
Portanto,
também tende para o infinito quando
tende para o infinito. Isso significa que não existe um limite superior finito para a sequência.
Quanto ao limite inferior, o menor valor de
ocorre quando
:
Assim, todos os termos da sequência são maiores ou iguais a 2.
Resposta
A sequência
é crescente e não é limitada superiormente. Ela é limitada inferiormente por 2.