Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty(-1)^n x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots cdot(2 n-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=0^infty(-1)^n,x^n1cdot3cdot5cdots(2n-1)
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos tratar isso como uma série de potências em x e usar o Teste da Razão para determinar o raio R.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
an = (-1)^n,x^n1cdot3cdot5cdots(2n-1)
Note que o produto 1cdot3cdot5cdots(2n-1) é o fatorial duplo (2n-1)!!, mas basta trabalhar com ele diretamente no teste.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, calculando
|an+1an| = |(-1)^n+1,x^n+1/l(1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)r) (-1)^n,x^n/l(1cdot3cdots(2n-1)r)| = |x|2n+1

Passo 4

Tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|x|2n+1=0para todo (xinR)
Como esse limite é menor que 1 para qualquer valor de |x|, a série converge absolutamente para todo x.

Passo 5

Do resultado do Teste da Razão, concluímos que o raio de convergência é
R = infty
e, portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos reais:
(-infty,infty)

Resposta

O raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

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