Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos tratar isso como uma série de potências em e usar o Teste da Razão para determinar o raio .
Passo 2
Identificamos o termo geral da série como
Note que o produto é o fatorial duplo , mas basta trabalhar com ele diretamente no teste.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Razão, calculando
Passo 4
Tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|x|2n+1=0para todo (xinR)
Como esse limite é menor que 1 para qualquer valor de |x|, a série converge absolutamente para todo x.
Passo 5
Do resultado do Teste da Razão, concluímos que o raio de convergência é
R = infty
e, portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos reais:
(-infty,infty)
Resposta
O raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).