Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
h(x, y)=x^2 e^x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem uma função de duas variáveis, h(x, y) = x^2 e^x y , e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a x e a y . Para isso, vamos usar as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de h em relação a x , ou seja, partial hpartial x . Aqui, tratamos y como uma constante.
A função h(x, y) = x^2 e^x y é o produto de x^2 e e^x y . Então, vamos aplicar a regra do produto:
partial hpartial x = ddx(x^2) cdot e^x y + x^2 cdot ddx(e^x y)
Agora, derivamos cada parte:
  • A derivada de x^2 em relação a x é 2x .
  • Para derivar e^x y em relação a x , usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a u é e^u , então:
ddx(e^x y) = e^x y cdot ddx(x y) = e^x y cdot y
Substituindo de volta na expressão:
partial hpartial x = 2x e^x y + x^2 y e^x y = e^x y (2x + x^2 y)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de h em relação a y , ou seja, partial hpartial y . Desta vez, tratamos x como uma constante.
A função h(x, y) = x^2 e^x y . Aqui, x^2 é uma constante multiplicando e^x y . Então, a derivada fica:
partial hpartial y = x^2 cdot ddy(e^x y)
Usando a regra da cadeia novamente:
ddy(e^x y) = e^x y cdot ddy(x y) = e^x y cdot x
Substituindo de volta:
partial hpartial y = x^2 cdot x e^x y = x^3 e^x y

Resposta

As derivadas parciais da função h(x, y) = x^2 e^x y são:
partial hpartial x = e^x y (2x + x^2 y)
partial hpartial y = x^3 e^x y

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