Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a
e a
. Para isso, vamos usar as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função
é o produto de
e
. Então, vamos aplicar a regra do produto:
Agora, derivamos cada parte:
- A derivada de
em relação a é . - Para derivar
em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
A função
. Aqui,
é uma constante multiplicando
. Então, a derivada fica:
Usando a regra da cadeia novamente:
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: