Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
mu(x, y)=e^y / x ln (xy)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de mu(x,y)=e^y/xln!l(tfracxyr). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=e^y/x, v(x,y)=ln!l(tfracxyr)
Para partial u/partial x aplicamos cadeia em u=e^g(x,y) com g=y/x:
partial gpartial x=-yx^2, partial upartial x =e^y/xcdotpartial gpartial x =-yx^2e^y/x
Para partial v/partial x usamos ln(x/y)=ln x-ln y:
partial vpartial x =1x

Passo 3

Pela regra do produto,
partial mupartial x =partial upartial x,v + u,partial vpartial x =-yx^2e^y/xln!l(tfracxyr) +e^y/x1x
Fatorando e^y/x e juntando em única fração:
partial mupartial x =e^y/x,x - yln!l(tfracxyr)x^2

Passo 4

Agora partial u/partial y e partial v/partial y. Como
partial gpartial y=1x, partial upartial y =e^y/xcdot1x,
e
partial vpartial y =-1y,
temos
partial mupartial y =partial upartial y,v + u,partial vpartial y =1xe^y/xln!l(tfracxyr) -e^y/x1y
Colocando em denominador comum:
partial mupartial y =e^y/xl(ln(tfracxy)x-1yr) =e^y/x,yln!l(tfracxyr)-xxy

Resposta

partial mupartial x = e^y/x,x - yln!l(tfracxyr)x^2, partial mupartial y = e^y/x,yln!l(tfracxyr)-xxy

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