Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
sigma(x, y)=x sen(y)-y cos (x)

Passo 1

O enunciado dá a função
sigma(x,y) = x sin(y) ;-; y cos(x)
e pede as derivadas parciais partialsigma/partial x e partialsigma/partial y. Para isso, usaremos a regra do produto e as derivadas básicas de sin e cos, tratando a outra variável como constante a cada vez.

Passo 2

Calcular partialsigmapartial x.
– O termo xsin(y) é produto de x por sin(y), mas como sin(y) não depende de x, sua derivada é
partialpartial xl(xsin(y)r) = 1cdotsin(y) = sin(y)
– O termo -,ycos(x) trata y como constante e usa a derivada de cos(x), que é -sin(x):
partialpartial xl(-ycos(x)r) = -ycdotl(-sin(x)r) = ysin(x)
Somando os resultados, encontramos
partialsigmapartial x = sin(y) + ysin(x)

Passo 3

Calcular partialsigmapartial y.
– Para xsin(y), agora x é constante e a derivada de sin(y) é cos(y):
partialpartial yl(xsin(y)r) = xcdotcos(y)
– Para -,ycos(x), cos(x) é constante em relação a y, e a derivada de y é 1:
partialpartial yl(-ycos(x)r) = -1cdotcos(x) = -cos(x)
Juntando, obtemos
partialsigmapartial y = xcos(y) ;-;cos(x)

Resposta

partialsigmapartial x = sin(y) + ysin(x), partialsigmapartial y = xcos(y) - cos(x)

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